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分形一词是由法国数学家曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）提出来的，曼德布罗特认识到自然界到处都有分形——现实世界中许多事物都有自相似结构。海岸线、山脉、雪花和树是很典型的例子。曼德布罗特甚至提出宇宙也是分形的， [101] 因为就其分布来说，有星系、星系团、星系团的聚团，等等。图7.3展示了自然界中一些自相似性的例子。
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▲图7.2 上图：爱尔兰岛鸟瞰图片，其海岸线有自相似（分形）特征。下图：爱尔兰海岸线的局部图片。这个尺度上的崎岖结构与更大尺度上的崎岖结构类似[上图来自NASA可视地球（http：//visibleearth.nasa.gov/）。下图由Andreas Borchet拍摄，经Creative Commons许可使用（http：//creativecommons.org/licenses/by/3.0/）]
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虽然人们对分形一词的意义有时候有不同理解，但一般来说分形指的是“在任何尺度上都有微细结构”的几何形状。 [102] 许多让人感兴趣的分形具有自相似特性，海岸线就是这样的例子。第2章中逻辑斯蒂映射的分叉图（图2.10）也具有一定程度的自相似性。事实上，许多系统的混沌域（在逻辑斯蒂映射中是R大于3.57的部分）常被称为分形吸引子。
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▲图7.3 自然界中一些分形结构的例子：树、雪花（显微镜放大）、星系团[树的照片来自美国国家海洋和大气管理局照片图书馆（National Oceanic and Atmospheric Administration Photo Library）。雪花照片来自http：//www.Snow Crystals.com，蒙Kenneth Libbrecht允许使用。星系团照片来自NASA太空望远镜科学研究所（NASA Space Telescope Science Institute）]
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曼德布罗特等数学家为自然界中的分形设计了各种数学模型。其中一个很有名的例子是科赫曲线（Koch Curve，以发现这种分形的瑞典数学家命名）。科赫曲线是通过不断应用一条规则得出：
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1.从一条直线段开始。
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2.应用科赫曲线规则：“将每段线段等分成三段，中间一段替换为一个三角形的两条边，每一边都等于原线段的1/3。”因为只有一条线段，应用这个规则后变为：
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3.对生成的图形再次应用科赫曲线规则，不断继续。下面是迭代了两次、三次和四次之后的情形：
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最后一张图有点像一条理想化的海岸线。（如果你向左旋转90度，然后斜着看，还真有点像阿拉斯加西海岸。）不过它是严格自相似的：曲线的部分，以及部分的部分，都与曲线整体是一样的形状。如果我们将科赫曲线规则应用无数次，图形在无数尺度上都将是自相似的——完美的分形。而真正的海岸线并不严格自相似。如果你观察海岸线的一小段，它并不与整段海岸线的形状完全一样，而是在许多方面相似（例如，蜿蜒崎岖）。另外，在真实世界中，自相似在无穷小的尺度上并不成立。为了简单起见，海岸线这类真实世界的结构通常被称为“分形”，但更严格的叫法应该是“类分形（fractal-like）”，特别是有数学家在场的时候。
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我们熟悉的空间维度的概念对于分形完全不适用。直线是1维，平面是2维，立方体是3维。那科赫曲线是几维呢？
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首先我们来看看直线、正方形和立方体这些常规几何对象的维数到底指的是什么。
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先来看看直线段。将其一分为二。然后将得到的线段再二分，每次都将各段线段一分为二：
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每一次得到的图形都是由两个上次缩小一半的拷贝组成。再来看看正方形。从各边将其二分。然后将得到的正方形继续从各边二分，这样不断二分下去。
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每次得到的图形都是由上次四分之一大小的4个拷贝组成。你可能已经猜到下面做什么了，将立方体从各边二分。将得到的立方体不断二分：
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