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最后一张图有点像一条理想化的海岸线。（如果你向左旋转90度，然后斜着看，还真有点像阿拉斯加西海岸。）不过它是严格自相似的：曲线的部分，以及部分的部分，都与曲线整体是一样的形状。如果我们将科赫曲线规则应用无数次，图形在无数尺度上都将是自相似的——完美的分形。而真正的海岸线并不严格自相似。如果你观察海岸线的一小段，它并不与整段海岸线的形状完全一样，而是在许多方面相似（例如，蜿蜒崎岖）。另外，在真实世界中，自相似在无穷小的尺度上并不成立。为了简单起见，海岸线这类真实世界的结构通常被称为“分形”，但更严格的叫法应该是“类分形（fractal-like）”，特别是有数学家在场的时候。
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我们熟悉的空间维度的概念对于分形完全不适用。直线是1维，平面是2维，立方体是3维。那科赫曲线是几维呢？
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首先我们来看看直线、正方形和立方体这些常规几何对象的维数到底指的是什么。
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先来看看直线段。将其一分为二。然后将得到的线段再二分，每次都将各段线段一分为二：
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每一次得到的图形都是由两个上次缩小一半的拷贝组成。再来看看正方形。从各边将其二分。然后将得到的正方形继续从各边二分，这样不断二分下去。
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每次得到的图形都是由上次四分之一大小的4个拷贝组成。你可能已经猜到下面做什么了，将立方体从各边二分。将得到的立方体不断二分：
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每次得到的都是由上次八分之一大小的8个拷贝组成。
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这里已经能够看出维度的意义。一般而言，每次得到的图形都是由上次缩小的拷贝组成，而拷贝的数量则是2的维数次幂（2 维数 ）。对于直线，是2 1 =2个拷贝；对于正方形，是2 2 &=4个拷贝；对于立方体是2 3 =8个拷贝。类似的，如果不是二分，而是将各边三分，则每次得到的图形是上次的3 维数 个拷贝。由此可以总结出一个规律：
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将几何结构从各边分成x等份，不断重复这个过程。每次得到的将是前一次的x 维数 个拷贝。
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根据维数的这种定义，直线是1维，正方形是2维，立方体是3维。都没有问题。
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现在将这个定义类推到科赫曲线。每次直线段都是之前的1/3长，而得到的则是之前的4个拷贝。根据前面的定义，应该是3 维数 =4。维数是多少呢？这里我们直接给出结果 [103] （计算过程在注释中给出），根据前面的规律，维数约为1.26。也就是说，科赫曲线既不是1维也不是2维，而是介于两者之间。太奇怪了，分形的维数居然不是整数。这正是分形的奇特之处。
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简而言之，分形维数 [104] 决定了物体的自相似拷贝的数量。同样，分形维也决定了随着层次的变化，物体总的大小（或者面积、体积）会如何改变。例如，如果你在每次应用规则后测量科赫曲线的总长度，你会发现每次长度增加为原来的4/3。只有完美的分形——可以缩小直至无穷——才有精确的分形维数。像海岸线这类真实世界的有穷类分形事物，我们只能测量近似的分形维数。
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为了解释分形维数的直观意义，有过很多尝试。譬如，认为分形维表示了物体的“粗糙度”“凸凹度”“不平整度”或“繁杂度”；物体的“破碎”度；还有物体的“结构致密”程度。例如，比较爱尔兰（图7.2）和南非（图7.4）的海岸线，前者的分形维数比后者更高。
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还有一种说法挺有诗意的，我很喜欢，即认为分形维数“量化了物体细节的瀑流”。 [105] 也就是说，当你沿着自相似的瀑流越走越深时，它决定了你能看到多少细节。如果结构不是分形的，譬如平滑的大理石，你将它的结构不断放大，将不会出现有意思的细节。而分形则在所有层面上都有有趣的细节，分形维数一定程度上量化了细节的有趣程度与你观察的放大率之间的关系。
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▲图7.4 南非海岸线[照片来自NASA可视地球（http：//visibleearth.nasa.gov）]
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这也就是为何人们对用分形维数度量复杂性感兴趣，许多科学家都用其来度量真实世界的现象。不过，除了崎岖度和细节瀑流，还有许多其他种类的复杂性我们也希望能进行度量。
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复杂 [:1701064761]
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用层次性度量复杂性
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1962年，西蒙（Herbert Simon）发表了一篇著名的文章——《复杂性的结构》 [106] 。文中西蒙提出一个系统的复杂性可以用层次度（degree of hierarchy）来刻画：“复杂系统由子系统组成， [107] 子系统下面又有子系统，不断往下。”西蒙是位杰出的学者，他博学多识，既是政治学家、经济学家，又是心理学家，他的成就用一章的篇幅来讨论也不为过。