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每一次得到的图形都是由两个上次缩小一半的拷贝组成。再来看看正方形。从各边将其二分。然后将得到的正方形继续从各边二分，这样不断二分下去。
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每次得到的图形都是由上次四分之一大小的4个拷贝组成。你可能已经猜到下面做什么了，将立方体从各边二分。将得到的立方体不断二分：
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每次得到的都是由上次八分之一大小的8个拷贝组成。
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这里已经能够看出维度的意义。一般而言，每次得到的图形都是由上次缩小的拷贝组成，而拷贝的数量则是2的维数次幂（2 维数 ）。对于直线，是2 1 =2个拷贝；对于正方形，是2 2 &=4个拷贝；对于立方体是2 3 =8个拷贝。类似的，如果不是二分，而是将各边三分，则每次得到的图形是上次的3 维数 个拷贝。由此可以总结出一个规律：
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将几何结构从各边分成x等份，不断重复这个过程。每次得到的将是前一次的x 维数 个拷贝。
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根据维数的这种定义，直线是1维，正方形是2维，立方体是3维。都没有问题。
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现在将这个定义类推到科赫曲线。每次直线段都是之前的1/3长，而得到的则是之前的4个拷贝。根据前面的定义，应该是3 维数 =4。维数是多少呢？这里我们直接给出结果 [103] （计算过程在注释中给出），根据前面的规律，维数约为1.26。也就是说，科赫曲线既不是1维也不是2维，而是介于两者之间。太奇怪了，分形的维数居然不是整数。这正是分形的奇特之处。
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简而言之，分形维数 [104] 决定了物体的自相似拷贝的数量。同样，分形维也决定了随着层次的变化，物体总的大小（或者面积、体积）会如何改变。例如，如果你在每次应用规则后测量科赫曲线的总长度，你会发现每次长度增加为原来的4/3。只有完美的分形——可以缩小直至无穷——才有精确的分形维数。像海岸线这类真实世界的有穷类分形事物，我们只能测量近似的分形维数。
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为了解释分形维数的直观意义，有过很多尝试。譬如，认为分形维表示了物体的“粗糙度”“凸凹度”“不平整度”或“繁杂度”；物体的“破碎”度；还有物体的“结构致密”程度。例如，比较爱尔兰（图7.2）和南非（图7.4）的海岸线，前者的分形维数比后者更高。
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还有一种说法挺有诗意的，我很喜欢，即认为分形维数“量化了物体细节的瀑流”。 [105] 也就是说，当你沿着自相似的瀑流越走越深时，它决定了你能看到多少细节。如果结构不是分形的，譬如平滑的大理石，你将它的结构不断放大，将不会出现有意思的细节。而分形则在所有层面上都有有趣的细节，分形维数一定程度上量化了细节的有趣程度与你观察的放大率之间的关系。
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▲图7.4 南非海岸线[照片来自NASA可视地球（http：//visibleearth.nasa.gov）]
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这也就是为何人们对用分形维数度量复杂性感兴趣，许多科学家都用其来度量真实世界的现象。不过，除了崎岖度和细节瀑流，还有许多其他种类的复杂性我们也希望能进行度量。
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复杂 [:1701064761]
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用层次性度量复杂性
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1962年，西蒙（Herbert Simon）发表了一篇著名的文章——《复杂性的结构》 [106] 。文中西蒙提出一个系统的复杂性可以用层次度（degree of hierarchy）来刻画：“复杂系统由子系统组成， [107] 子系统下面又有子系统，不断往下。”西蒙是位杰出的学者，他博学多识，既是政治学家、经济学家，又是心理学家，他的成就用一章的篇幅来讨论也不为过。
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西蒙认为，复杂系统最重要的共性就是层次性和不可分解性。西蒙列举了一系列层次结构的复杂系统——例如，身体由器官组成，器官又是由细胞组成，细胞中又含有细胞子系统，等等。某种程度上，这个观念与分形在所有尺度上都自相似类似。
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不可分解性指的是，在层次性复杂系统中，子系统内部的紧密相互作用比子系统之间要多得多。例如，细胞内部的新陈代谢网络就比细胞之间的作用要复杂得多。
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西蒙还认为，进化之所以能设计出自然界中的复杂系统，正是因为它们能像砖块一样被结合到一起——也就是说，具有层次性和不可分解性。细胞能够进化，从而成为高一级器官的建筑模块，组成的器官又可作为更高一级器官的建筑模块。西蒙认为复杂系统研究需要有一个“层次理论”。
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许多人探讨了用层次性度量复杂性的可能途径。例如进化生物学家麦克西（Daniel Mc Shea）就一直想厘清生物随着进化复杂性增加的意义，他提出了一种层次标度， [108] 可以用来度量生物的层次度。麦克西的标度是用嵌套层次定义：高一级的对象嵌有低一级的对象作为组分。麦克西提出了以下嵌套的生物学层次：
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层次1：原核细胞（最简单的细胞，例如细菌）；
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层次2：层次1生物的聚合，例如真核细胞（更复杂的细胞，由原核细胞合并进化而来）；