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几个研究团体都发现网页入度分布可以用非常简单的规则来描述：具有某一入度的网页数量大致正比于入度的平方的倒数。如果用字母k表示入度。则（在文献中对于k的指数的具体数值有些分歧，但是都接近2——细节见注释）这个规则实际上只适用于 [238] 入度（k）为数千或更大的情形。
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入度为k的网页数量正比于1/k 2 。
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为了解释为何万维网是“无尺度”，我用三种不同的尺度画出了遵循上面的规则的入度分布（图15.10）。第一幅图画了9000个入度对应的分布，从1000开始，这是规则开始变得相当精确的地方。类似于图15.7，横轴为1000—10000的入度值，纵轴标示的长条高度则是各入度值的频率（具有相应入度的网页数量）。长条太多以至于形成了一整块黑色区域。
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图中给出的并不是频率的真实值，因为我想强调图形的形状（据我所知，也没有人对实际频率有很好的估计）。图中可以看到入度k为1000的网页相对较多，随着入度增大，频率下降很快。在k=5000和k=10000之间，网页数量已经很少了，对应的长条高度已基本接近0。
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如果我们改变尺度，将这片“基本接近0”的区域放大，会怎么样呢？第二幅图绘制了k=10000到k=100000之间的入度分布。我改变了图形的尺度，让k=10000处与前一幅图中k=1000处的长条高度相等。在这个尺度下，入度为k=10000的网页数量相对较多，在k=50000和k=100000之间的长条高度则“基本接近0”。
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▲图15.10 三种不同尺度下网页入度分布的近似形状
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但还有一点很惊人——除了坐标轴上的数字不同，第二幅图与第一幅图是一样的。第一幅图画了9000个值的分布，而第二幅图画了90000个值的分布，足足大了一个数量级。
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第三幅图中可以看到在更大的尺度上仍然有相同的现象。k为100000到1000000之间，画出的分布形状仍然是一样的。
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这样的分布被称为是自相似的，因为不管在哪种尺度上进行绘制，形状都是一样的。说得更专业一点，就是“在不同尺度下具有不变性”。这就是无尺度一词的由来。自相似这个词可能会让你觉得似曾相识。因为在第7章讨论分形时我们见过它。这里与分形确实有一些联系，到第17章我们再来详细讨论。
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复杂 [:1701064818]
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无尺度分布和钟形曲线
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无尺度网络没有“特征尺度”。要解释这一点，最好的办法是将无尺度分布与另一种著名的分布——钟形曲线——进行比较。
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假设我们绘制全世界成年人身高的分布。世界上最矮的（成年）人大约是70厘米，最高的人则大约是270厘米。成年人的平均身高大约是165厘米，而且大部分人的身高介于150—200厘米之间。人类身高分布大致像图15.11那样。画出来的曲线像一座钟，钟形曲线也因此而得名。很多东西的分布都接近钟形曲线——身高、体重、考试成绩、篮球赛得分、各种物种的数量，等等。自然界中有许多量都遵循这种分布，因此钟形曲线也被称为正态分布。正态分布有特定的尺度——比如，身高是70—270厘米，考试成绩是0—100分。在正态分布中，平均值同时也是频率最高的值，例如165厘米既是身高平均值也是最常见的值。大部分取值与平均值相差不大——分布相当单一。如果网页的入度值是正态分布，网页排名就不会起作用，因为几乎所有网页的入连接都差不多。甲壳虫乐队的官网与其他包含“apple records”的网页的入连接数量就会相差不大，因而无法用来区分可能的相关程度。
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▲图15.11 人类身高的钟形曲线分布
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幸运的是（对谷歌的股东来说尤其如此），网页的度分布是无尺度而不是钟形曲线。无尺度网络有4个显著特征：①相对较少的节点具有很高的度（中心节点）；②节点连接度的取值范围很大（度的取值多样）；③自相似性；④小世界结构。所有的无尺度网络同时也具有小世界特性，但不是所有具有小世界特性的网络都是无尺度网络。
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说得专业一点，无尺度网络一定遵循连接度幂律分布。前面已经讲了，网页的入度分布大致是：
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入度为k的网页数量正比于1/k 2 。
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你可能还记得高中数学学过1/k 2 也可以写成k -2 。即“指数为-2的幂律分布”。类似的，1/k即（k -1 ）就是“指数为-1的幂律分布”。幂律分布的形式一般为x d ，其中x是入度这一类的量。描述这种分布的关键是指数d；不同的指数会产生不同的分布。
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在第17章我们再深入讨论幂律分布。现在只需记住无尺度网络遵循连接度幂律分布。
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复杂 [:1701064819]
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网络稳健性
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无尺度网络有一个非常重要的特性，在节点被删除时具有稳健性。也就是说，如果随机删除一些节点，不会改变网络的基本特性：仍然会有多样的度分布、很短的平均路径以及很高的集群性，即使删除的节点很多也不会有什么变化。原因很简单：如果随机删除节点，则极有可能删除的是低连接度的节点，因为网络中绝大部分节点都是低连接度节点。删除这种节点对总体的度分布和路径长度的影响很小。万维网就是这样，网络上不断有计算机出故障或是被移除，但是这对万维网的运转不会有明显影响，也不会改变其平均路径长度。类似的，网页和链接也在不断被删除，但网上冲浪不会受到什么影响。
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不过，这种稳健性是有代价的：如果删除了中心节点，网络就有可能会失去无尺度特性，并且无法正常运转。例如，芝加哥（航班网络的中心节点）的暴风雪可能会导致全国大面积的航班延误或取消。谷歌出故障会对整个万维网形成很大冲击。
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