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图16.4 胖子在使坏
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祥子并不知情，但是可以想见，如果祥子还是按照F=Kp（1- x）- KdV的方式来拉这个车的话，他会遇到这么一个情况，那就是在接近街尾的时候，橡皮筋上的力越来越大，而他的拉力则越来越小，总有这么一处橡皮筋的张力与Kp（1- x）相等。过了这一点以后，黄包车所受的橡皮筋的张力就比祥子的拉力还要大，于是车子就会在这个地方附近徘徊，永远也到不了街尾了。解这个过程的运动方程，可得如图16.5所示曲线。
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图16.5 有橡皮筋拉住的黄包车永远也到不了街尾
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这个时候，祥子肯定会觉得不对劲，怎么总是到不了街尾呢？于是他在F=Kp （ 1－x ）－KdV的基础上加了一项：，这最后一项的Ki就是积分增益（Integral Gain），是一个比Kp和Kd都要小得多的值。当黄包车由于橡皮筋的拖曳怎么也到不了指定位置的时候，（1—x）始终是正的，这一项通过时间的累积就会越来越大，终于祥子的拉力超过了橡皮筋，把车拉向前去。我们把这个运动过程画出图来，如图16.6所示。可以看出它和图16.3几乎一样，黄包车迅速地到达了街尾，并且稳定地停在了那儿。如果没有拴在车后的这根橡皮筋，而是街道有个坡度，街头低街尾高，那么也需要这个积分增益才能到达街尾，否则就只能到Kp（1－x）=mgsinθ的地方了（m是黄包车和乘客的总重量，θ是街道与水平面所形成的角度）。
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图16.6 加入积分增益以后问题解决了
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我敢说，每一位黄包车夫都是PID控制的身体力行者，他们熟练地运用着这种控制方法，穿大街走小巷。其实，最早PID算法的提出就是研究人员通过观察船员控制轮船的方向提炼出来的。了解了它的基本原理，我们来看如何把它运用到实际制作中去吧！
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动手实践
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首先我们可以用非常简单的几个元件搭建一个蕴含着PID控制原理的上拉式磁悬浮，实物如图16.7所示。通过给一个手工绕的电磁铁通电，我们可以对图中的稀土磁铁产生强大的吸引力，以至于平衡其重力。图中的电磁铁是用直径0.255mm的漆包线（图中的红色细线）缠绕在一根一次性塑料注射器上做成的，我用的电磁铁电阻值大约为16Ω，具体数值并不是很重要。但是，注意不能使用铁制品做电磁铁的芯，因为那样稀土磁铁就会直接牢牢地吸附上去，无法通过电磁铁进行调节了。如果我们仅仅是把这个电磁铁接上一个可调电源，增大电流，让它对稀土磁铁产生吸引力平衡其重力，是不足以让稀土磁铁稳定悬浮在空中的（请参考第7章“逆磁悬浮”中的恩绍定律）。读过前面章节的朋友或许还记得，这种情况下稀土磁铁在竖直方向上不具有势能最低点，不能稳定悬浮。这时，我们就需要一个电路来调节电磁铁的强弱，使得当稀土磁铁偏离平衡位置试图奔向电磁铁时，电磁铁中的电流减少；当稀土磁铁偏离平衡位置试图下落时，电磁铁中的电流增加，从而维持一个动态的平衡。
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图16.7 上拉式磁悬浮实物图
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电路小巧简约[1]，如图16.8所示。
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首先我们从电路最右边开始看起。在电磁铁线圈左边并联着一个二极管，它的作用是在三极管VT被关断时使线圈通过它放电，而不至于给三极管一个很高的电压脉冲。在线圈之下是一个用来测量磁场强度的霍尔元件，关于霍尔元件测量磁场的原理，我们在“探索与发现”小节会有更深入的讨论，并将了解它在前沿科学研究中的重要地位，目前我们只要知道它是一个测量磁场强度的传感器即可。其实物如图16.9所示，我使用的是Allegro公司生产的A1301贴片式线性霍尔传感器。其实，当时买的时候是一不留神买错了，买了贴片式的，还得劳神费力地做一个电路板把它给焊上。你可以直接买直插式的，型号并不重要，只要是线性的霍尔传感器便可。给它提供5V电源电压，在没有外加磁场的情况下，它输出2.5V（在外加磁场为零时，其输出电压总是电源电压的一半）。当有垂直于其表面的外加磁场时（方向如图16.9中所示），它输出电压就会增加；如果磁场的方向掉个头，它输出的电压就会减少。增加或减少的程度正比于外加磁场强度。不同型号的霍尔传感器对磁场的响应可能不一样，这一点要在把它接入电路之前研究清楚。
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图16.8 简单上拉式磁悬浮电路
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电磁铁线圈下面的三极管是用来控制电磁铁中电流大小的阀门。由于电磁铁中消耗的电流比较大（约0.5A），我选用的是TIP31大功率NPN型三极管，它可以承受3A的电流，并且有很好的散热封装。在我最初尝试这个制作的时候，使用过普通的小三极管，结果，由于过热，它竟然把附近的一根电线的塑料皮融化了，当我试图用手去把它们分离时，手上还烫出了一个泡。所以请读者吸取我的惨痛经验，不要小看它的破坏力。
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三极管的基极和发射极之间的电解电容是为了过滤掉一些不必要的电压波动，增强悬浮磁铁的稳定性。三极管的控制信号由基极通过一个1kΩ的电阻引入。这个控制信号要使得三极管集电极通过的电流足够大，这样就能产生吸引力平衡掉稀土磁铁的重力；另外，当稀土磁铁偏离平衡位置时，控制信号要做出相应的变化，把它推回平衡位置。要做到这一点，就得求助于图16.8左边围绕着运放LM358展开的负反馈放大电路了。
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图16.9 贴片式的霍尔元件
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如果没有图中100kΩ的变阻器，这部分就是一个传统的负反馈放大电路（我们在本书第4章中介绍过），其放大倍数可以通过调节200kΩ变阻器进行调整。那么为什么我们要加入这个100kΩ的变阻器呢？简而言之，我们需要用它来调节稀土磁铁处于平衡点时电磁铁中的电流大小。因为每个磁铁的强度，重量都不一样，那么它在悬浮平衡点处所需要的电磁铁的强度也不一样。通过调节这个100kΩ的变阻器，我们可以在霍尔传感器的输入电压恒定的情况下，手动调节这个负反馈放大电路的输出电压，使三极管通过恰当大小的电流，从而对稀土磁铁产生足够的吸引力。