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第四章 少广（共24个问题），是由已知面积和体积，反求一边之长，讲的是开平方和开立方的方法。值得指出的是，用算筹列出几层来进行开平方和开立方的运算，相当于列出一个二次或三次的数字方程，把筹算的位置制发展到新的阶段，即用上下不同的各层表示一个方程的各次项的系数。在此基础上，后来逐渐发展成为具有世界意义的数字高次方程的解法。
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第五章 商功（共28个问題），是有关各种工程（城、垣、沟、堑、渠、仓、窖、窑等等），即关于各种体积的计算；还有按季节不同，劳力情况不同，土质不同来计算巨大的工程所需土方和人工安排的问题，等等。
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第六章 均输（共28个问题），是计算如何按人口多少（按正比例）、物价高低、路途远近（按反比例）等条件，合理摊派税收和派出民工等问题；还包括复比例、连比例等比较复杂的比例配分问題。
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第七章 盈不足（共20个问题），其中人多数是对如下一类题目的求解方法：“有若干人共买东西，每人出八就多三，每人出七就少四，问人数和物价各多少？”因为这类问题一般都有两次假设，所以在其他国家的一些中世纪数学著作中称之为“双设法”，这种方法可用来解决各种问题。
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第八章 方程（共18个问题），都是一次联立方程问题（包括有二至六个未知数），解法和现在一般中学代数学课本中的“加减消元法”基本相同。当时，是用算筹摆出方程的各系数。一个方程摆一个竖行，方程组中有几个方程就摆出几行，这也可说是筹算位置制的又一新发展。特别值得指出的是，本章还引入了负数（用红算筹表示正数，黑算筹表示负数；或者以正摆的算筹表示正数，斜摆的算筹表示负数），并且给出了正负数的加减运算法则。
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第九章 勾股（共24个问题），按刘徽的注文解释，本章内容大都是利用勾股定理测量计算“高、深、广、远”的问题。它表明当时测量数学的发达以及测绘地图的水平已达到相当的高度。
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《九章算术》的意义及其影响
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总之，《九章算术》的内容包括了现代小学算术的大部分和中学数学的一部分内容，即包括了初等数学中算术、代数以及几何的相当大部分的内容，有着辉煌的成就，而且它形成了有自己特点的完整体系。这些特点就是：它重视理论，但不是那种严重脱离实际的理论，而在实际的计算方面具有很高的水平，有着一整套在当时世界上堪称是十分先进的筹算算法，用算筹的不同位置和不同摆法，不仅可以表示任意大的数目，而且可以表示一个方程的各次项系数或是表示一个方程组中各方程的系数，进一步又可以表示正数和负数；在数学命题的叙述方法上，也是从实际的问题出发，而不是从抽象的定义和公理出发。这些特点，使得中国数学在许多重要方面，特別是在解决实际的计算问题方面，远远胜过古希腊的数学体系。当然只要人们读一读欧几里得《几何原本》（它的基本思想仍然构成了今日中学几何学的一部分内容），就可以了解到古希腊数学体系确实具有较高的抽象性和力求严谨的逻辑上的系统性。毫无疑问，它也是人类知识宝库中不可多得的珍宝。但也应指出：中国古代数学体系所显示出来的在十进位值制解决实际问題以及在计算技术等方面的显著优点，正是古希腊数学的欠缺之处。后来，正是中国古代数学的这些内容经过印度和中世纪伊斯兰国家而辗转传入欧洲，对文艺复兴前后世界数学的发展，作出了应有的贡献。
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就是在中国，《九章算术》对后世也产生了巨大的影响，它一直是人们学习数学的主要教科书。16世纪以前的中国数学著作，从成书方式来看，大都沿袭《九章算术》的体例。从实际问题出发，提供数学解决方法的传统承继不断。后世许多著名的数学家都曾对《九章算术》进行注释工作，并在这些注释工作中不断引入了新的数学概念和方法，从而推动中国古代数学不断前进。
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《九章算术》是举世公认的古典数学名著之一，在世界数学史上占有重要的地位。其中关于分数概念及其运算、比例问题的计算、负数概念的引入和正负数的加减运算法则等等，都比印度早八百年左右，比欧洲国家则早千余年。关于联立一次方程组的解法，在印度最早的记载见于12世纪的巴斯喀拉（Bhaskara），而欧洲则要迟至16世纪才出现正式记载。盈不足术传入阿拉伯国家，被称做“契丹算法”（即中国算法），受到阿拉伯数学家的高度重视。《九章算术》在隋唐时期就曾流传到朝鲜和日本，并被定为教科书，其影响是可想而知的。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078155]
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六 地图测绘技术与疆域地理志
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马王堆出土的地图
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1973年，长沙马王堆三号汉墓出土了三幅绘在帛上的地图，它们是地形图、驻军图和城邑图。从图中地名和地图出于汉文帝十二年（公元前168年）的墓葬来看，可以断定它们是西汉初年测绘的，距今已有两千一百多年。
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战国时期地图的绘制已达到较高的水平。当时的军事地图内容包括有“辕之险，滥车之水，名山、通谷、经川、陵陆、丘阜之所在，苴草、林木、蒲苇之所茂，道里之远近，城郭之大小，名邑、废邑、困殖之地”【27】，由此可知地图已有方位、距离和比例尺的制定。刘邦初入咸阳，萧何即收秦律令图书，刘邦因而得以“具知天下阨塞，户口多少，强弱之处”【28】。这些记载生动地描述了战国历秦地图发展的盛况。出土的三幅汉初地图，是当时大量地图的幸存者，它们是战国以来地图测绘技术发展的产物，其内容毋庸置疑地证实了文献记载的可靠性；更为可贵的是，它们提供了汉初地图测绘的精度、测绘技术和当时地图的形制等问题的珍贵的实物资料。
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用现代地图同马王堆出土的地形图、驻军图比较量算，可以发现，地形图除南部（该图上为南，下为北）一带没有注记的部分外，其余大都合乎十八万分之一的比例；驻军图的比例尺大些，为八万分之一到十万分之一左右。地形图所示的湘江上游第一大支流潇水流域、南岭、九嶷山及其附近地区的精度相当高。深水（即今潇水）及其支流的水道情况，大部分接近于今地图；居民点各县城，如营浦（今湖南道县）、舂陵（今湖南新田县）、道（今湖南宁远县）、南平（今湖南蓝山县）等位置也比较准确；对于山脉逶迤，峰峦起伏的九嶷山和南北走向的都庞岭等的表示相当出色。这些情况表明，地图的绘制必定是以相当科学的测绘方法为基础的，不经实地勘察，没有必要的实测数据、计算方法和一定的制图原则，要达到这样高的精度是不可想象的。在复杂的地形条件下，两远方地物间的距离、方位均不能直接量取，这就必须求助于间接的方法，以保证两地物相对位置的准确性。如就距离而言，就要求对具体地段各临近地物间的距离、方位、高下等要素作实地的测量和计算，进而求出两远方地物间的水平直线距离，再依据一定的比例尺画在图上。在上一节中，我们已经谈到汉代测算“高、深、广、远”的技术已相当发展，所以这一间接测量法是可能施用的。既然地形图的精度相当高，大概正是使用了这种方法的结果。
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图4－9 长沙马王堆三号汉墓出土的地形图复原图
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地形图长宽各96厘米，图上主要内容有山脉、河流、居民点和道路等，已经包括了现代地形图的基本要素。图中已经有了统一的图例：地形图的居民点采用两种符号，县治用方框表示，乡、里用圆圈表示，注记写在方框和圆圈内。水道用上游细、下游逐渐变粗的曲线表示，注记有一定的位置，其中深水和冷水还注明了水源。用闭合曲线表示山脉的轮廓和延伸方向，在闭合曲线内还附加晕线，使山脉十分醒目。对九嶷山的表示更有独创之处，除用较粗的闭合曲线勾出山体外，又用细线画成鱼鳞状层层重叠，表示峰峦起伏的特征，颇像现代的等高线画法。主要山峰用柱状符号表示，而且高度不同。地形图中的道路用细线表示，不加注记。
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驻军图长98厘米，宽78厘米，其范围仅仅是地形图的东南部地区。因为是军事守备图，内容除山脉、河流、居民点和道路外，还标明了驻军的布防、防区界线和指挥城堡等，反映了汉初长沙诸侯国军队守备作战的兵力部署情况。与地形图比较，其不同之处还有：河流、湖泊用田青色；军事重地用黑底套红勾框；居民点用红圈或黑圈，有的旁注户数；军队行动的道路用红色虚线。因此它还是一幅彩绘地图。驻军图不如地形图的地方是山脉的表示方法较为逊色。
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此外这些图的清绘技术也是相当熟练的，例如河流粗细变化均匀，河口处没有通常容易绘错的倒流现象。地形图中道路的画法几乎是一笔绘成，看不出有换笔的接头，描绘居民点圆形符号的圆度都很好，等等。
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图4－10 长沙马王堆三号汉墓出土驻军图复原图
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这些都说明汉初地图的绘图技术也是相当高的。