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刘徽对数学的贡献是多方面的，他对求弧田面积、圆锥体积、球体积、十进分数、解方程等问题，都有独到的创见。除注《九章算术》外，还撰写《重差》一卷，内容是测量目的物的高和远的计算方法。《重差》又称《海岛算经》，唐初被列为“十部算经”之一，是我国古代关于测量数学的重要著作。近年在长沙马王堆出土了西汉初期的帛画地图，其精确程度使各国学者叹服，反映了我国测量数学较早就已具相当水平，并在绘制地图中得到实际应用。
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祖冲之及其科技成就
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祖冲之（429—500），字文远，是我国古代数学家、天文学家和机械制造家。他出身的家庭，几代的成员对天文、历法都有深入的研究。在这样的家庭气氛熏陶下，他自小时起便“专功数术”。他治学态度严谨，“博访前故，远稽昔典”，搜集自古以来的大量文献资料和观测记录，系统深入地进行分析研究，从前人的科学思想和成就中吸收了丰富的营养。但是祖冲之的可贵之处更在于他“不虚推古人”，没有被束缚在已有的成就中。他在自己的学术道路上，富有批判的精神和探索的勇气。他在“搜练古今，博采沉奥”，掌握大量资料的同时，坚持实际考核验证，亲身进行精密的测量和细致地推算，既发扬了前人的成就，又纠正了前人的错误，把我国的数学和天文学推进到一个新的高度。
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当人们一提到祖冲之时，往往就想到圆周率。确实，祖冲之的名字与圆周率的计算是不可分开的。他应用刘徽的割圆术，在刘徽的计算基础上继续推算，求出了精确到第七位有效数字的圆周率：3.1415926＜π＜3.1415927。这一结果，相当于需要对九位数字的大数目进行各种运算（包括开方在内）130次以上，这在今天用笔算运算也是一个十分繁复的工作，而在当时是用算筹运算的，更不知要艰巨多少倍。从这里，可以看到祖冲之付出多么巨大的劳动，需要多大的毅力和决心。
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祖冲之所求得的圆周率数值，远远地走在当时世界的前列。直至一千年后，15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西（A1－Kashi，）于公元1427年著《算术之钥》和16世纪法国数学家维叶特（Viète，1540—1603）才求出更精确的数值。为了计算的方便，祖冲之还求出用分数表示的两个圆周数值。一个是，称为密率；一个是，称为约率。密率是分子、分母在1000以内表示圆周率的最佳渐近分数。在欧洲，直到16世纪鄂图（Valentinus Otto）和安托尼兹（Anthoniszoon，Adriaen）才得到这个数值。
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图5－3 《隋书·律历志》中有关圆周率的记载
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关于球体体积的计算，《九章算术》中认为外切圆柱体与球体体积之比，等于正方形与其内切圆面积之比。刘徽纠正了《九章算术》中球体体积计算中的这个错误，指出“牟合方盖”（即垂直相交两圆柱体的共同部分）与球体体积之比，才是等于正方形与其内切圆面积之比，但他没有得到“牟合方盖”的体积公式。祖冲之的儿子祖暅应用“缘幂势既同，则积不容异”【28】，即“等高处横截面积常相等的两个立体，它们的体积也必定相等”的原理，巧妙地完成了刘徽的未竟之业，最后得到球体体积＝D3，（D为球体直径）的正确公式。这原理就是著名的“祖暅公理”。在西方，它经常被称作卡瓦列里（Cavalieri，1591—1647，意大利人）公理，比祖暅迟约一千年。
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根据《南齐书》和《南史》记载，祖冲之曾经“注《九章》、造《缀术》数十篇”。《缀术》一书唐初被列入“十部算经”之中。这部著作有的史料说是他儿子祖暅所著，实际可能是他们父子共同心血的结晶。可惜的是这部珍贵的古代数学典籍早已亡佚。《缀术》内容深奥，时人称其精妙，书中除包括圆周率和球体体积的计算外，可能还涉及三次方程的求解问题。在唐代数学教育中，《缀术》的学习时间定为四年，是“十部算经”中学习时间最长的一种。
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在天文学领域中，祖冲之也取得了辉煌的成就。他在“探异古今，观要华戎”，对历代历法进行系统研究中，一方面“专功躭思”，开动思想机器；一方面坚持实际观测，“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”。他发现“古历疏舛，类不精密”，指出天算历法家刘歆、张衡、刘徽、何承天等人的不足，大胆地提出历法改革，于刘宋大明六年（462年）33岁时，完成了大明历。祖冲之大明历的重大成就与改革措施，已如第三节所述，不再重复。
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祖冲之的历法改革，曾引起了历史上有名的祖冲之与戴法兴关于改历的争论。
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祖冲之在完成大明历后，上表给宋孝武帝刘骏，要求推行新历，但却受到刘骏的宠臣戴法兴的竭力反对。戴法兴拘泥于陈腐的传统观念，抱残守阙，非难祖冲之。他无视祖冲之提出的“冬至所在，岁岁微差”的事实，以冬至点是“万世不易”的陈腐观点，责骂祖冲之“诬天背经”。他还以闰法的设置，是“古人制章”，“此不可革”为口实，攻击祖冲之改革闰周是“削闰坏章”。戴法兴既为刘骏的宠臣，“天下畏其权，既立异议，论者皆附之”，当时朝臣支持祖冲之的，只有一个人。
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面对着权臣和孤立，祖冲之没有畏缩，他挺身而出，与戴法兴进行针锋相对的论战。他用亲身观察测量的事实，驳斥戴法兴，说明日月星辰的运行，“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推”，人们对天体运行规律的认识，在不断进步，“艺之兴，因代而推移”，不应该“信古而疑今”，一针见血地指出戴法兴的责难只不过是“厌心之论”而已，而历法的改革是势在必行的。【29】
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围绕大明历这场论争，是一场科学与反科学的斗争。传统的保守势力，死抱着陈旧的成见，设置神圣不可侵犯的禁区。他们看不到也不愿意看到科学的新发现，当科学的新发现的事实摆在他们面前，摧毁他们的偏见时，便被视为大逆不道，恨不得一口吞掉科学的新生命。但是，人类在认识客观规律的过程中，总是有所发现，有所发明，有所创造，总是在不断前进，这是任何力量也阻止不了的。科学也正是在冲破重重禁区，扫除对传统的迷信中，显示出其无穷的生命力。
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祖冲之的大明历，由于重重阻挠以及改朝换代等历史原因，经历刘宋、南齐两代，直至他死后十年，才在他的儿子祖暅的坚决请求下，于梁天监九年（510年）正式颁行。
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除对数学、天文历法的贡献外，祖冲之还是一个多才多艺的机械发明家。他制造的指南车，“圆转不穷，而司方如一”，为马钧以来所没有过；他还制造过“日行百余里”【30】的“千里船”和水碓磨等。另外，祖冲之在任齐王朝长水校尉时，曾写了《安边论》，提出“开屯田，广农殖”的主张。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078167]
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五 地学的新进展
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地记的编纂
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这时期地理著作的特点是撰述各地州郡以及山、川的“地记”大量出现，其中以描述长江流域和长江以南各州、郡的为多，反映了南方经济、文化的发展。地记的内容很广，包括各地的历史和地理情况，见于著录的有：谯周的《三巴记》，顾启期的《娄地记》，庾仲雍的《湘州记》和记述黄淮地区的《齐州记》（李叔布撰）等等。关于记山的著作，有释慧道的《庐山记》和葛洪的《幕阜山记》等。专记水道的代表作是桑钦的《水经》和郦道元的《水经注》。总的说来，地记的内容很不一致，有偏重于史传的，也有偏重于地理物产的。山记的内容多以描述寺观为主，其地理学价值不大。水道记大都记载了水道的来龙去脉，能反映一定历史时期的自然面貌，科学价值较高。
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除了描述局部地区的地记外，还先后出现了《畿服经》、《地理书》、《地记》等几部全国性的总志。《畿服经》为晋初挚虞所著，计170卷，书中记述了全国各地的情况，“州郡及县分野封略事业，国邑山陵水泉，乡亭道里土田，民物风俗，先贤旧好，靡不悉具”【31】。《地理书》是南齐陆澄所撰，计149卷并附录一卷，这是他“合《山海经》以来一百六十家”【32】的地理著作，按地区编成的。《地记》是梁人任昉在陆澄《地理书》的基础上又增加了八十四家著作编撰而成，全书252卷。这些总志的篇幅浩大，内容相当丰富。
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令人可惜的是这一时期的地方性或是全国性总志的地记著作，基本上已散佚殆尽，所存无几。但从现存的少量著作和片断记载中，仍可窥知这时地记发展的盛况。
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裴秀和制图六体
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裴秀（223—271）字季彦，河东闻喜（今山西闻喜县）人，从小就很好学，有着渊博的才识。晋武帝时曾佐理国家军政，官至“司空”（相当于宰相的地位），接触到不少的地理和地图资料。用于国家管理和战争需要的地图，春秋战国时期已很普遍，至汉代已有较高的水平，但是由于几经战火，图籍损失惨重，据裴秀所说，到西晋时已是“秘书既无古之地图”，汉代萧何所收秦之图籍亦已不存，幸存下来的“惟有汉氏舆地及括地诸杂图”。这些一般的行政区图大都简单粗陋，既不设比例尺，方位的划定又不准确，对名山大川亦不备载，“虽有粗形，皆不精审，不可依据”。有些图籍“荒外迂诞之言，不合事实，于义无取”。另外由于历史的变迁，古代地理经典《禹贡》所记载的山川地名，已“多有变易”，而“后世说者或强牵引”，造成了混乱。这种状况，当然不能满足当时所谓“大晋龙兴”的政治和军事需要。故此裴秀立意制作新图。他研究了大量的古代资料，对照当时的实际情况，“上考《禹贡》山海川流，原隰陂泽，古之九州，及今之十六州，郡国县邑，疆界乡陬，及古国盟会旧名，水陆径路”，在门客京相璠的协助下，编制成《禹贡地域图》18篇。这可以说是见于文字记载的最早历史地图集。在制作过程中，他以实事求是的科学态度，对古代文献所载与当时的实际情况进行考核比较，力求弄清搞准，而不是生搬硬套，牵强附会，采取“疑者则阙，古有名而今无者，皆随事注列”的办法，并且改正了旧有的“天下大图”过分巨大，用缣80匹，不便展阅，记载又不精确的弊病，以“一分为十里，一寸为百里”（1∶800000，历史上均一里为180丈，1929年方改一里为150丈）的比例，缩制成方丈图。【33】图中“备载名山都邑”，使“王者可不下堂而知四方”【34】，为军政管理提供了科学依据。可惜，裴秀主持绘制的这些地图，早已失传。