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图5-2 刘徽《九章算术注》中有关割圆术的记载
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早在先秦诸子中,就已有极限思想的萌芽。但先秦诸子这些思想大多带有思辨的性质,把极限思想用之于解决数学问题的,在我国古代当推刘徽的割圆术为最早了。
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刘徽从圆内接正六边形算起,边数逐步加倍,一直算到圆内接正192边形的面积,算得了π近似于3.14的数值,另一个近似值π=(相当于3.1416)可能也是刘徽算得的。这个结果是当时世界上的最佳数据。最早提出当边数无限增多时,圆内接正多边形的面积趋于圆面积的,是公元前5世纪希腊数学家安提丰(Antiphon),但他没有利用来计算圆周率π的近似值。后来阿基米德(Archimedes,公元前3世纪)提出圆周长介于圆内接多边形周长与圆外切多边形周长之间,算出了<π<的数值。但阿基米得是用归谬法证得这一结果的。他避开了无穷小和极限。而刘徽却应用了极限的概念,并且在方法上仅需用圆内接正多边形的面积,不必计算圆外切正多边形的面积,大大简化计算的过程,并得到相当精确的数值,收得事半功倍之效。
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刘徽对数学的贡献是多方面的,他对求弧田面积、圆锥体积、球体积、十进分数、解方程等问题,都有独到的创见。除注《九章算术》外,还撰写《重差》一卷,内容是测量目的物的高和远的计算方法。《重差》又称《海岛算经》,唐初被列为“十部算经”之一,是我国古代关于测量数学的重要著作。近年在长沙马王堆出土了西汉初期的帛画地图,其精确程度使各国学者叹服,反映了我国测量数学较早就已具相当水平,并在绘制地图中得到实际应用。
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祖冲之及其科技成就
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祖冲之(429—500),字文远,是我国古代数学家、天文学家和机械制造家。他出身的家庭,几代的成员对天文、历法都有深入的研究。在这样的家庭气氛熏陶下,他自小时起便“专功数术”。他治学态度严谨,“博访前故,远稽昔典”,搜集自古以来的大量文献资料和观测记录,系统深入地进行分析研究,从前人的科学思想和成就中吸收了丰富的营养。但是祖冲之的可贵之处更在于他“不虚推古人”,没有被束缚在已有的成就中。他在自己的学术道路上,富有批判的精神和探索的勇气。他在“搜练古今,博采沉奥”,掌握大量资料的同时,坚持实际考核验证,亲身进行精密的测量和细致地推算,既发扬了前人的成就,又纠正了前人的错误,把我国的数学和天文学推进到一个新的高度。
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当人们一提到祖冲之时,往往就想到圆周率。确实,祖冲之的名字与圆周率的计算是不可分开的。他应用刘徽的割圆术,在刘徽的计算基础上继续推算,求出了精确到第七位有效数字的圆周率:3.1415926<π<3.1415927。这一结果,相当于需要对九位数字的大数目进行各种运算(包括开方在内)130次以上,这在今天用笔算运算也是一个十分繁复的工作,而在当时是用算筹运算的,更不知要艰巨多少倍。从这里,可以看到祖冲之付出多么巨大的劳动,需要多大的毅力和决心。
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祖冲之所求得的圆周率数值,远远地走在当时世界的前列。直至一千年后,15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西(A1-Kashi,)于公元1427年著《算术之钥》和16世纪法国数学家维叶特(Viète,1540—1603)才求出更精确的数值。为了计算的方便,祖冲之还求出用分数表示的两个圆周数值。一个是,称为密率;一个是,称为约率。密率是分子、分母在1000以内表示圆周率的最佳渐近分数。在欧洲,直到16世纪鄂图(Valentinus Otto)和安托尼兹(Anthoniszoon,Adriaen)才得到这个数值。
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图5-3 《隋书·律历志》中有关圆周率的记载
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关于球体体积的计算,《九章算术》中认为外切圆柱体与球体体积之比,等于正方形与其内切圆面积之比。刘徽纠正了《九章算术》中球体体积计算中的这个错误,指出“牟合方盖”(即垂直相交两圆柱体的共同部分)与球体体积之比,才是等于正方形与其内切圆面积之比,但他没有得到“牟合方盖”的体积公式。祖冲之的儿子祖暅应用“缘幂势既同,则积不容异”【28】,即“等高处横截面积常相等的两个立体,它们的体积也必定相等”的原理,巧妙地完成了刘徽的未竟之业,最后得到球体体积=D3,(D为球体直径)的正确公式。这原理就是著名的“祖暅公理”。在西方,它经常被称作卡瓦列里(Cavalieri,1591—1647,意大利人)公理,比祖暅迟约一千年。
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根据《南齐书》和《南史》记载,祖冲之曾经“注《九章》、造《缀术》数十篇”。《缀术》一书唐初被列入“十部算经”之中。这部著作有的史料说是他儿子祖暅所著,实际可能是他们父子共同心血的结晶。可惜的是这部珍贵的古代数学典籍早已亡佚。《缀术》内容深奥,时人称其精妙,书中除包括圆周率和球体体积的计算外,可能还涉及三次方程的求解问题。在唐代数学教育中,《缀术》的学习时间定为四年,是“十部算经”中学习时间最长的一种。
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在天文学领域中,祖冲之也取得了辉煌的成就。他在“探异古今,观要华戎”,对历代历法进行系统研究中,一方面“专功躭思”,开动思想机器;一方面坚持实际观测,“亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫厘,心穷筹策”。他发现“古历疏舛,类不精密”,指出天算历法家刘歆、张衡、刘徽、何承天等人的不足,大胆地提出历法改革,于刘宋大明六年(462年)33岁时,完成了大明历。祖冲之大明历的重大成就与改革措施,已如第三节所述,不再重复。
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祖冲之的历法改革,曾引起了历史上有名的祖冲之与戴法兴关于改历的争论。
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祖冲之在完成大明历后,上表给宋孝武帝刘骏,要求推行新历,但却受到刘骏的宠臣戴法兴的竭力反对。戴法兴拘泥于陈腐的传统观念,抱残守阙,非难祖冲之。他无视祖冲之提出的“冬至所在,岁岁微差”的事实,以冬至点是“万世不易”的陈腐观点,责骂祖冲之“诬天背经”。他还以闰法的设置,是“古人制章”,“此不可革”为口实,攻击祖冲之改革闰周是“削闰坏章”。戴法兴既为刘骏的宠臣,“天下畏其权,既立异议,论者皆附之”,当时朝臣支持祖冲之的,只有一个人。
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面对着权臣和孤立,祖冲之没有畏缩,他挺身而出,与戴法兴进行针锋相对的论战。他用亲身观察测量的事实,驳斥戴法兴,说明日月星辰的运行,“迟疾之率,非出神怪,有形可检,有数可推”,人们对天体运行规律的认识,在不断进步,“艺之兴,因代而推移”,不应该“信古而疑今”,一针见血地指出戴法兴的责难只不过是“厌心之论”而已,而历法的改革是势在必行的。【29】
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围绕大明历这场论争,是一场科学与反科学的斗争。传统的保守势力,死抱着陈旧的成见,设置神圣不可侵犯的禁区。他们看不到也不愿意看到科学的新发现,当科学的新发现的事实摆在他们面前,摧毁他们的偏见时,便被视为大逆不道,恨不得一口吞掉科学的新生命。但是,人类在认识客观规律的过程中,总是有所发现,有所发明,有所创造,总是在不断前进,这是任何力量也阻止不了的。科学也正是在冲破重重禁区,扫除对传统的迷信中,显示出其无穷的生命力。
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祖冲之的大明历,由于重重阻挠以及改朝换代等历史原因,经历刘宋、南齐两代,直至他死后十年,才在他的儿子祖暅的坚决请求下,于梁天监九年(510年)正式颁行。
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除对数学、天文历法的贡献外,祖冲之还是一个多才多艺的机械发明家。他制造的指南车,“圆转不穷,而司方如一”,为马钧以来所没有过;他还制造过“日行百余里”【30】的“千里船”和水碓磨等。另外,祖冲之在任齐王朝长水校尉时,曾写了《安边论》,提出“开屯田,广农殖”的主张。
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五 地学的新进展
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地记的编纂
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