1701080890
图5－2 刘徽《九章算术注》中有关割圆术的记载
1701080891
1701080892
早在先秦诸子中，就已有极限思想的萌芽。但先秦诸子这些思想大多带有思辨的性质，把极限思想用之于解决数学问题的，在我国古代当推刘徽的割圆术为最早了。
1701080893
1701080894
1701080895
1701080896
1701080897
刘徽从圆内接正六边形算起，边数逐步加倍，一直算到圆内接正192边形的面积，算得了π近似于3.14的数值，另一个近似值π=（相当于3.1416）可能也是刘徽算得的。这个结果是当时世界上的最佳数据。最早提出当边数无限增多时，圆内接正多边形的面积趋于圆面积的，是公元前5世纪希腊数学家安提丰（Antiphon），但他没有利用来计算圆周率π的近似值。后来阿基米德（Archimedes，公元前3世纪）提出圆周长介于圆内接多边形周长与圆外切多边形周长之间，算出了＜π＜的数值。但阿基米得是用归谬法证得这一结果的。他避开了无穷小和极限。而刘徽却应用了极限的概念，并且在方法上仅需用圆内接正多边形的面积，不必计算圆外切正多边形的面积，大大简化计算的过程，并得到相当精确的数值，收得事半功倍之效。
1701080898
1701080899
刘徽对数学的贡献是多方面的，他对求弧田面积、圆锥体积、球体积、十进分数、解方程等问题，都有独到的创见。除注《九章算术》外，还撰写《重差》一卷，内容是测量目的物的高和远的计算方法。《重差》又称《海岛算经》，唐初被列为“十部算经”之一，是我国古代关于测量数学的重要著作。近年在长沙马王堆出土了西汉初期的帛画地图，其精确程度使各国学者叹服，反映了我国测量数学较早就已具相当水平，并在绘制地图中得到实际应用。
1701080900
1701080901
祖冲之及其科技成就
1701080902
1701080903
祖冲之（429—500），字文远，是我国古代数学家、天文学家和机械制造家。他出身的家庭，几代的成员对天文、历法都有深入的研究。在这样的家庭气氛熏陶下，他自小时起便“专功数术”。他治学态度严谨，“博访前故，远稽昔典”，搜集自古以来的大量文献资料和观测记录，系统深入地进行分析研究，从前人的科学思想和成就中吸收了丰富的营养。但是祖冲之的可贵之处更在于他“不虚推古人”，没有被束缚在已有的成就中。他在自己的学术道路上，富有批判的精神和探索的勇气。他在“搜练古今，博采沉奥”，掌握大量资料的同时，坚持实际考核验证，亲身进行精密的测量和细致地推算，既发扬了前人的成就，又纠正了前人的错误，把我国的数学和天文学推进到一个新的高度。
1701080904
1701080905
当人们一提到祖冲之时，往往就想到圆周率。确实，祖冲之的名字与圆周率的计算是不可分开的。他应用刘徽的割圆术，在刘徽的计算基础上继续推算，求出了精确到第七位有效数字的圆周率：3.1415926＜π＜3.1415927。这一结果，相当于需要对九位数字的大数目进行各种运算（包括开方在内）130次以上，这在今天用笔算运算也是一个十分繁复的工作，而在当时是用算筹运算的，更不知要艰巨多少倍。从这里，可以看到祖冲之付出多么巨大的劳动，需要多大的毅力和决心。
1701080906
1701080907
1701080908
1701080909
祖冲之所求得的圆周率数值，远远地走在当时世界的前列。直至一千年后，15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西（A1－Kashi，）于公元1427年著《算术之钥》和16世纪法国数学家维叶特（Viète，1540—1603）才求出更精确的数值。为了计算的方便，祖冲之还求出用分数表示的两个圆周数值。一个是，称为密率；一个是，称为约率。密率是分子、分母在1000以内表示圆周率的最佳渐近分数。在欧洲，直到16世纪鄂图（Valentinus Otto）和安托尼兹（Anthoniszoon，Adriaen）才得到这个数值。
1701080910
1701080911
1701080912
1701080913
1701080914
图5－3 《隋书·律历志》中有关圆周率的记载
1701080915
1701080916
1701080917
关于球体体积的计算，《九章算术》中认为外切圆柱体与球体体积之比，等于正方形与其内切圆面积之比。刘徽纠正了《九章算术》中球体体积计算中的这个错误，指出“牟合方盖”（即垂直相交两圆柱体的共同部分）与球体体积之比，才是等于正方形与其内切圆面积之比，但他没有得到“牟合方盖”的体积公式。祖冲之的儿子祖暅应用“缘幂势既同，则积不容异”【28】，即“等高处横截面积常相等的两个立体，它们的体积也必定相等”的原理，巧妙地完成了刘徽的未竟之业，最后得到球体体积＝D3，（D为球体直径）的正确公式。这原理就是著名的“祖暅公理”。在西方，它经常被称作卡瓦列里（Cavalieri，1591—1647，意大利人）公理，比祖暅迟约一千年。
1701080918
1701080919
根据《南齐书》和《南史》记载，祖冲之曾经“注《九章》、造《缀术》数十篇”。《缀术》一书唐初被列入“十部算经”之中。这部著作有的史料说是他儿子祖暅所著，实际可能是他们父子共同心血的结晶。可惜的是这部珍贵的古代数学典籍早已亡佚。《缀术》内容深奥，时人称其精妙，书中除包括圆周率和球体体积的计算外，可能还涉及三次方程的求解问题。在唐代数学教育中，《缀术》的学习时间定为四年，是“十部算经”中学习时间最长的一种。
1701080920
1701080921
在天文学领域中，祖冲之也取得了辉煌的成就。他在“探异古今，观要华戎”，对历代历法进行系统研究中，一方面“专功躭思”，开动思想机器；一方面坚持实际观测，“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”。他发现“古历疏舛，类不精密”，指出天算历法家刘歆、张衡、刘徽、何承天等人的不足，大胆地提出历法改革，于刘宋大明六年（462年）33岁时，完成了大明历。祖冲之大明历的重大成就与改革措施，已如第三节所述，不再重复。
1701080922
1701080923
祖冲之的历法改革，曾引起了历史上有名的祖冲之与戴法兴关于改历的争论。
1701080924
1701080925
祖冲之在完成大明历后，上表给宋孝武帝刘骏，要求推行新历，但却受到刘骏的宠臣戴法兴的竭力反对。戴法兴拘泥于陈腐的传统观念，抱残守阙，非难祖冲之。他无视祖冲之提出的“冬至所在，岁岁微差”的事实，以冬至点是“万世不易”的陈腐观点，责骂祖冲之“诬天背经”。他还以闰法的设置，是“古人制章”，“此不可革”为口实，攻击祖冲之改革闰周是“削闰坏章”。戴法兴既为刘骏的宠臣，“天下畏其权，既立异议，论者皆附之”，当时朝臣支持祖冲之的，只有一个人。
1701080926
1701080927
面对着权臣和孤立，祖冲之没有畏缩，他挺身而出，与戴法兴进行针锋相对的论战。他用亲身观察测量的事实，驳斥戴法兴，说明日月星辰的运行，“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推”，人们对天体运行规律的认识，在不断进步，“艺之兴，因代而推移”，不应该“信古而疑今”，一针见血地指出戴法兴的责难只不过是“厌心之论”而已，而历法的改革是势在必行的。【29】
1701080928
1701080929
围绕大明历这场论争，是一场科学与反科学的斗争。传统的保守势力，死抱着陈旧的成见，设置神圣不可侵犯的禁区。他们看不到也不愿意看到科学的新发现，当科学的新发现的事实摆在他们面前，摧毁他们的偏见时，便被视为大逆不道，恨不得一口吞掉科学的新生命。但是，人类在认识客观规律的过程中，总是有所发现，有所发明，有所创造，总是在不断前进，这是任何力量也阻止不了的。科学也正是在冲破重重禁区，扫除对传统的迷信中，显示出其无穷的生命力。
1701080930
1701080931
祖冲之的大明历，由于重重阻挠以及改朝换代等历史原因，经历刘宋、南齐两代，直至他死后十年，才在他的儿子祖暅的坚决请求下，于梁天监九年（510年）正式颁行。
1701080932
1701080933
除对数学、天文历法的贡献外，祖冲之还是一个多才多艺的机械发明家。他制造的指南车，“圆转不穷，而司方如一”，为马钧以来所没有过；他还制造过“日行百余里”【30】的“千里船”和水碓磨等。另外，祖冲之在任齐王朝长水校尉时，曾写了《安边论》，提出“开屯田，广农殖”的主张。
1701080934
1701080935
中国科学技术史稿（修订版） [:1701078167]
1701080936
五 地学的新进展
1701080937
1701080938
地记的编纂
1701080939