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我国有漫长的海岸线和海疆，生活在沿海的人民，在长期的劳动生活和航海实践中，积累了关于海洋、潮汐的丰富知识。东汉王充关于潮汐随月球运动而变化的思想已如前述，到三国时，地处东海之滨的吴国，已有关于潮汐的专著《潮水论》问世，但早已散佚。唐代随着天文学和航海业的发展，对潮汐的认识也达到了一个新的水平，出现了窦叔蒙论海潮的专门著作《海涛志》。
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窦叔蒙，浙江人，生平不详，他的著作《海涛志》，又名《海峤志》，全文共6章，成书于8世纪中叶，是我国现存最早的潮汐专著。他从长期细心的观察中，对于潮汐变化与月球运动之间存在有一定客观规律性的认识作了更深入地描述。他指出“月与海相推，海与月相期，苟非其时，不可强而致也，时至自来，不可抑而已也”。潮汐相应着月球运动而变化，“轮回辐次，周而复始”【52】。在《海涛志》中，记述了每日有两次潮汐涨落，每月有两次大潮出现于朔望时期，有两次小潮出现于上下弦时期；在一年之内也有两个大、小潮期。窦叔蒙通过精密的计算，得出一个潮汐循环所推迟的时间为50分28.04秒，这个数据与现在计算正规半日潮每日推迟50分钟极为相近。为了说明潮汐的运动规律，窦叔蒙还创立了科学的图表表示法。在《海涛志·论涛时》中具体记载有制图的方法，图上列有月亮圆缺的情况，画出相应的潮汐变化图，从图中可一目了然地看出潮汐“循环周始”的变化规律。窦叔蒙的《海涛志》反映了8世纪中叶，我国对潮汐的成因和变化规律，不仅已有科学的定性认识，而且对来潮时间也有较精确的定量认识。与窦叔蒙同时代的封演，也从“日夕观潮”的实际观察中，认识到潮汐与月球运动的关系，是“潜相感致，体于盈缩”。特别是他提出了涨潮时间每日推迟，“至月半则月初早潮翻为夜潮，夜潮翻为早潮”，持续下去，“渐转至月半之早潮复为夜潮，月半之夜潮复为早潮”，从而得出了“凡一月旋转一匝，周而复始，虽月有大小，魄有盈亏，而潮之月，无毫厘之失”【53】的结论。这种思想和认识也是相当正确的。
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大运河的开凿和利用
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为了加强对南方的政治、军事控制，并漕运南方的粟米丝帛，以满足中央政权机构的需要，隋唐统治者发起了运河的大规模开凿。开皇四年（584年），隋文帝为解决交通运输的困难，“令工匠，巡历渠道，观地理之宜，审终久之义”【54】，进行勘查，接着令宇文恺率水工开凿广通渠，“决渭水达河，以通运漕”【55】，把渭水由大兴城引至潼关，长三百余里，使“转运通利，关内赖之”【56】。隋炀帝当政后，在兴建东都洛阳的同时，又发起开凿以洛阳为中心的大运河工程。大业元年（605年），征发河南、淮北一百多万人开凿通济渠，自洛阳引谷水、洛水至黄河，又从板渚引黄河水，疏通莨荡渠故道入淮河。另又征发淮南十几万人疏通邗沟，由山阳（今江苏淮安）引淮河水经扬子（今江苏扬州南）进入长江。这个工程“水面阔四十步，通龙舟。两岸为大道，种榆柳，自东都（洛阳）至江都（扬州），二千余里，树荫相交”【57】，沿岸边建有驿站和离宫，工程于当年秋完成。大业四年（608年），又征发河北一百多万人开凿永济渠，引沁水南通黄河，北达涿郡（今北京），长两千多里。大业六年（610年）再开江南河，由京口（今江苏镇江）引长江水直通余杭（今浙江杭州），进入钱塘江，全长“八百余里，水面阔十余丈”【58】。大运河工程浩大，动用数百万民工，全长四五千里，沟通了海河、黄河、淮河、长江和钱塘江五大水系，是世界水利史上的伟大工程之一。从现代的眼光看，这样巨大的工程，又穿越复杂的地理环境，从设计、施工到管理，要涉及测量、计算、机械、流体力学等多方面的科学技术知识，要解决一系列科学技术上的难关。这项工程的完成，反映了我国古代劳动人民的聪明才智和创造精神。
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图6－9 隋运河图
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大运河开凿之后，成为我国南北交通的大动脉，对于加强南北的联系和经济交流，促进祖国的统一和发展祖国的经济文化，都发挥了积极的作用。自从大运河凿通以后，运河中“商旅往返，船乘不绝”【59】。唐朝前期还利用大运河和南方河流、湖泊构成一个水道网，“天下诸津，舟航所聚，旁通巴汉，前指闽越，七泽十薮，三江五湖，控引河洛，兼包淮海。弘舸巨舰，千轴万艘，交贸往还，昧旦永日”【60】。运河两岸，商业都市日益繁荣，杭州、扬州、镇江等成为物资和人文荟萃的繁荣城市。
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唐政府为了漕运江南的粮食和物资到关中，以供唐政府之用，很重视运河漕运的组织管理工作。733年，唐玄宗听从裴耀卿的建议，采用分段转运法，从而缩短了漕运的时间，减少覆溺的损失，提高了运输效率。代宗时，刘晏又再次整顿漕运，采用疏浚运河，建造坚固的船只等有效措施，避免了以往漕粮经常耗损十分之二以上的情况。漕运的畅通，保证了唐政府的财政费用，对维护和巩固唐政权的统治起了重要的作用。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078180]
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六 算经的注释和数学的发展
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由于农业、工商业的发展，城市建筑、运河水利工程的大规模兴建以及天文学进步的需要，这个时期的数学在前代所取得的巨大成就的基础上，持续地向前发展，并为宋、元时期的数学发展高潮奠定了基础。
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数学教育
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这时期在国家创办的学校中设置了数学教育，在科举中设立了明算科。隋代在国子寺设立算学，置有博士2人、助教2人，学生80人，进行数学教育。唐代于显庆元年（656年）也在国子监设置算学馆，由算学博士“掌教文武官八品以下及庶人之子为生者”【61】。算学馆有学生30人，主要学习十部算经，“习《九章》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀》、《五经算》十有五人，习《缀术》、《缉古》十有五人”，并兼习《数术记遗》和《三等数[XP（]三等数[XP）]》。学习期限规定为“《孙子》、《五曹》共限一年业成，《九章》、《海岛》共三年，《张邱建》、《夏侯阳》各一年，《周髀》、《五经算》共一年，《缀术》四年，《缉古》三年”【62】。显庆三年（658年）废算学馆，把博士以下人员并入太史局。龙朔二年（662年）重设算学，但学生数减为10人。这时期，由国家在国子监中创立算学，进行数学教育，这在我国历史上是首创，在世界史上也是少见的。但是由于传统思想的桎梏，当时盛行的是经史治国，数学教育没有受到应有的重视。在唐代的国子监中，有国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆，其中国子学有学生300人，太学、四门各有学生500人，而算学仅有学生30人，后来又减为10人。而且学数学的人社会地位非常低微，国子博士是正五品上，而算学博士却是品位最低的从九品下，“士族所趋唯明经、进士二科而已”【63】。大约在晚唐时期，明算科考试便早已停止了。
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王孝通和《缉古算经》
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唐代数学中所列的十部算经中，除王孝通《缉古算经》外，都是前人的著作。王孝通活动于初唐时期，曾任算学博士、太史丞。他少小时就学算，一生进行数学工作，《缉古算经》是他的代表作，其中最主要的成就是介绍开带从立方法（即求三次方程的正根），这是我国现存最早的开带从立方的算书。写《缉古算经》的目的，王孝通在“上《缉古算经》表”中说得很清楚，他说：“伏寻《九章》商功篇有平地役工受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论，致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》。”王孝通经过长期的研究，利用开带从立方的运算方法，解决工程建设中上下宽狭不一，前后高低不同的埧体或沟渠等工程的施工计算问题。就当时已有的数学水平而言，如何列出合乎解题需要的三次方程，是一个很困难的问题。直到宋元时期的“天元术”出现之后，这问题才得到解决。
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“十部算经”的注释
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为了满足数学教育的需要，唐高宗曾令太史令李淳风与算学博士梁述，太学助教王真儒等注释《周髀算经》、《九章算术》等十部算经，在“国学行用”【64】。李淳风等在对《周髀算经》的注释中，根据实际观测，修正了经文和赵爽、甄鸾注中的缺陷。他指出《周髀》认为南北相去一千里，日影的长度相差一寸的说法与实际不合，赵爽用等差级数计算二十四气八尺高竿的日影长，也不符合实际情况，并逐条校正了甄鸾对赵爽的“勾股圆方图”的种种误解。李淳风等在注《九章算术》少广章开立圆术时，引用了祖暅对于球体积的研究，为后世保存了宝贵资料。他们所注的《海岛算经》，详细指出了解题中的演算步骤，为学习提供了方便。但李淳风等人的注释工作也存在着不少缺点和错误，如李淳风等没有认识到刘徽割圆术的意义，贬低刘徽的工作，这是不对的。但是，正是由于李淳风等人奉命注书，又经政府规定为教科书，才使“十部算经”等古算书得以流传至今，其功绩是不能磨灭的。
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二次内插法的创立
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随着天文观测的进步，1世纪初就已发现月球视运动速度随时间而变化，但一次内插法所得到的结果误差太大。南北朝时期在天文观测中又发现了太阳和五星的视运动也不是匀速运动，尤其是太阳视运动的不均匀性对制定历法时计算合朔、交食等的时刻有着较大的影响，因而要求有更精确的方法来进行计算。600年，隋代天文学家刘焯在制定皇极历时，创立推算日、月、五星运行度数的等间距二次内插方法。这种方法比以前所用的一次内插法精密，利用这公式计算所得到的历法精确度也有所提高。但是，由于历法中的节气不是等间距的，日、月、五星的视运动也不是匀加速运动，所得到的数值仍然存在着较大的误差。为了提高历法的精确度，唐代著名天文学家一行又在这基础上大胆创新，在大衍历中创立了不等间距的二次内插方法。晚唐时的徐昂在822年制定宣明历时，所用内插公式比一行的公式形式上更为简便。内插方法的创立和应用，是中国数学史和天文学史上的一项重大成就。
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实用算术的发展
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唐代的中、晚期，农业上推行两税法的赋税制度，工商业也有较大的发展，人们对简化筹算计算过程的要求较为迫切，出现了不少有关实用算术的书籍，如龙受益的《算法》，江本的《一位算法》，陈从运的《得一算经》等。但从656年李淳风等注释十部算经，至南宋秦九韶于1247年著述《数书九章》，其中将近六百年中所出现的数学著作皆已佚亡，现存仅有韩延的一部算书因后被冠以《夏侯阳算经》之名而幸存。这是中唐时代的一部算书，大约成书于770年左右。书中引证了不少算书和当时的法令，保存了一些宝贵的史料。
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图6－10 《韩延算书》书影
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韩延算书共3卷，有83个例题，除少数例题与《五曹算经》、《孙子算经》相同外，都是结合当时的实际需要，为地方官吏和普通人民提供适用的数学知识和计算技术。书中提供了当时把过去用算筹演算时分上、中、下三层进行，简化为一个横列里演算的情况，有不少化多位乘除为一位乘除的例题。例如，用二次7乘，然后除以10、再除以2来代替乘数为2.45；用5乘，再用7乘来代替乘数为35等。另外，书中还记有用加法代乘、用减法代除，在一个横列里进行筹算的演算方法。这些演算方法，简化了过去繁杂的筹算演算，便于在实际运算中推广应用，适应了社会生产和生活上的需要。
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