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朱世杰《四元玉鉴》按天、地、人、物，立成四元，天元术是将各项系数纵列成行，而四元术则既有纵列，又有横列，摆成一个方阵模样，用以表示一个可以包含四个未知数的多项式或方程，并有一整套多元多项式的运算方法。朱世杰在《四元玉鉴》中共收有四元方程组问题7题，三元者13题，2元者36题。
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解多元方程组时用消去法，将四元四式消去一元后变为三元三式，再消去一元变为二元二式。更消去一元就得一元方程式，然后用增乘开方法求正根。
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我国数学家求解方程的方法，这时已经发展到高峰。由于筹算本身的局限性，无法布置更多的元，解题显然不能超过四元以上。到18世纪法国数学家别朱（Bazout）在1779年也对高次方程组的消去法问题作了系统的叙述。
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高阶等差级数
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宋元时期高阶等差级数的研究，可以说是始自北宋沈括的“隙积术”。杨辉又进一步丰富了垛积术的类型。但是高阶等差级数问题的研究，自古以来就和历法的推算即内插法有着密切关系。
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1281年，王恂、郭守敬等人考虑了日月五星的不等速运动情况，采用三次差分的内插法原理计算日月五星的运行，成为授时历中五大创举之一。
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朱世杰在《四元玉鉴》中对垛积招差问题作了系统而又详细的研究，得到了关于高次招差的一般公式，从而最后完成了宋元数学在这一方面的研究工作。这在中国数学史和世界数学史上都是首创，它和后来的牛顿（英，Newton）公式完全一致。
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大衍求一术
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“大衍求一术”就是中国古代求解联立一次同余式方法的发展，秦九韶称它为“求一术”，因又将其与《周易》[XP（]周 易[XP）]大衍之数相附会，称为“大衍求一术”。在秦九韶的《数书九章》中，求解一次同余组的“大衍求一术”也是数学史上的一项卓越成就。
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联立一次同余式问题，从数学文献上说，最早见于《孙子算经》中的一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是著名的孙子问题，它的解法用到求三个一次同余式的共同解。这类问题和中国古代历法计算“上元积年”（即假想中历法的理想起点到编历时的年数）有关。从汉代到宋代历代的各家历法都有着自己的关于“上元积年”的数据，但却没有留下有关算法的记载。在现有资料中是秦九韶的《数书九章》首次对这一算法进行介绍并把它推广到解决各种数学问题中去。秦九韶举出的例题就不是“孙子问题”中的3、5、7之类的简单数据，其中的数据可以是整数，也可以是分数、小数。秦九韶系统地指出了求解一次同余组的一般计算步骤，正确而又严密。过了五百多年，欧洲的欧拉（Euler，1707—1783）和高斯（Gauss，1777—1855）等人对联立一次同余式方才进行了较为深入的研究。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078196]
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八 天文学发展的高峰和著名的科学家郭守敬
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大规模的恒星观测
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北宋时代，从1010年到1106年约百年之间，进行过5次大规模的恒星位置观测工作，其精确度比前有很大的提高。1010年，韩显符新制浑仪，观测“外官星位去斗、极度数”【49】，这里的斗指斗宿，是当时对冬至点的通称。这就是说这次测量是以冬至点为起量点，于是所得数据是为赤经，这与以传统的二十八宿距星为标准而测得赤经差的方法是不同的。
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1034年，编撰《景祐乾象新书》时作了第二次观测，所得周天星座入宿、去极度数的星表虽已亡佚，但在《宋史·天文志》中却保存了这一次测定的二十八宿距星的位置的成果。
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1049—1053年，周琮、于渊、舒易简等人铸铜仪，对周天星官作第三次观测。王安礼等在修订《灵台秘苑》一书时收载了这次观测的结果，它包括有345个星官距星的入宿、去极度。
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1078—1085年的第四次观测结果画成了星图，在1247年左右由王致远按黄裳原图（约绘于1190年）刻石，这便是闻名世界的苏州石刻天文图，该图面积8尺×2.5尺，刻星1430多颗。它以北极为中心，绘有3个同心圆，分别代表北极常显圈，南极恒隐圈和赤道，28条辐射线表示二十八宿距度，还有黄道和银河。苏颂《新仪象法要》一书中星图也是这一次观测结果，共有1464颗星。
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图7－12 苏州石刻天文图
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1102—1106年，姚舜辅等人所进行的第五次观测最精确。观测结果见姚舜辅的纪元历，其度数给出了度以下的等值，这本身就是测量精度提高的证明。据研究，其中二十八宿距度误差绝对值平均只有0.15度，达到这样高的精确度，在当时的条件下是很不容易的。沿用了三百多年的唐代一行的观测数据至此才为新的观测结果所取代。特别值得指出的是：一行虽从实测中发现二十八宿距度古今不同，但未提出说明；而姚舜辅则明确提出了这些距度由古至今一直在变化，各个时代的“天道”是各不相同的。这既是科学的观测，也是科学的论述。
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到元代，郭守敬等人在1276年又进行了一次大规模的恒星位置测量工作，精确度比宋代又提高约一倍。除了测量传统的恒星的位置外，郭守敬还测量了前人未命名的恒星一千余颗，使记录的星数从传统的1464颗增加到2500颗，并编制成了星表。可惜这份重要的科学成果没有流传下来。西欧到14世纪文艺复兴以前观测的星数是1022颗，我国古代这些恒星观测的业绩，体现出当时恒星位置测量的先进水平。
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对于新星和超新星的观测，在宋代也取得了重大的成就，为世人瞩目的1054年天关客星的观测便是一例。《宋会要》载：“嘉祐元年三月，司天监言：‘客星没，客去之兆也。’初，至和元年五月，晨出东方，守天关（金牛座ξ星），昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”现在，天文学界已广泛承认天关星附近的蟹状星云就是1054年爆发的超新星遗迹。而这次超新星爆发的详细记录，为蟹状星云以及与之相关的中子星等理论问题的研究，提供了宝贵的历史资料。
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天文仪器发展的高峰
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我国古代传统的天文仪器——漏壶、圭表、浑仪、浑象等，到宋元时期都发展到了高峰。
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