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朱世杰在《四元玉鉴》中对垛积招差问题作了系统而又详细的研究，得到了关于高次招差的一般公式，从而最后完成了宋元数学在这一方面的研究工作。这在中国数学史和世界数学史上都是首创，它和后来的牛顿（英，Newton）公式完全一致。
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大衍求一术
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“大衍求一术”就是中国古代求解联立一次同余式方法的发展，秦九韶称它为“求一术”，因又将其与《周易》[XP（]周 易[XP）]大衍之数相附会，称为“大衍求一术”。在秦九韶的《数书九章》中，求解一次同余组的“大衍求一术”也是数学史上的一项卓越成就。
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联立一次同余式问题，从数学文献上说，最早见于《孙子算经》中的一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是著名的孙子问题，它的解法用到求三个一次同余式的共同解。这类问题和中国古代历法计算“上元积年”（即假想中历法的理想起点到编历时的年数）有关。从汉代到宋代历代的各家历法都有着自己的关于“上元积年”的数据，但却没有留下有关算法的记载。在现有资料中是秦九韶的《数书九章》首次对这一算法进行介绍并把它推广到解决各种数学问题中去。秦九韶举出的例题就不是“孙子问题”中的3、5、7之类的简单数据，其中的数据可以是整数，也可以是分数、小数。秦九韶系统地指出了求解一次同余组的一般计算步骤，正确而又严密。过了五百多年，欧洲的欧拉（Euler，1707—1783）和高斯（Gauss，1777—1855）等人对联立一次同余式方才进行了较为深入的研究。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078196]
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八 天文学发展的高峰和著名的科学家郭守敬
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大规模的恒星观测
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北宋时代，从1010年到1106年约百年之间，进行过5次大规模的恒星位置观测工作，其精确度比前有很大的提高。1010年，韩显符新制浑仪，观测“外官星位去斗、极度数”【49】，这里的斗指斗宿，是当时对冬至点的通称。这就是说这次测量是以冬至点为起量点，于是所得数据是为赤经，这与以传统的二十八宿距星为标准而测得赤经差的方法是不同的。
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1034年，编撰《景祐乾象新书》时作了第二次观测，所得周天星座入宿、去极度数的星表虽已亡佚，但在《宋史·天文志》中却保存了这一次测定的二十八宿距星的位置的成果。
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1049—1053年，周琮、于渊、舒易简等人铸铜仪，对周天星官作第三次观测。王安礼等在修订《灵台秘苑》一书时收载了这次观测的结果，它包括有345个星官距星的入宿、去极度。
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1078—1085年的第四次观测结果画成了星图，在1247年左右由王致远按黄裳原图（约绘于1190年）刻石，这便是闻名世界的苏州石刻天文图，该图面积8尺×2.5尺，刻星1430多颗。它以北极为中心，绘有3个同心圆，分别代表北极常显圈，南极恒隐圈和赤道，28条辐射线表示二十八宿距度，还有黄道和银河。苏颂《新仪象法要》一书中星图也是这一次观测结果，共有1464颗星。
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图7－12 苏州石刻天文图
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1102—1106年，姚舜辅等人所进行的第五次观测最精确。观测结果见姚舜辅的纪元历，其度数给出了度以下的等值，这本身就是测量精度提高的证明。据研究，其中二十八宿距度误差绝对值平均只有0.15度，达到这样高的精确度，在当时的条件下是很不容易的。沿用了三百多年的唐代一行的观测数据至此才为新的观测结果所取代。特别值得指出的是：一行虽从实测中发现二十八宿距度古今不同，但未提出说明；而姚舜辅则明确提出了这些距度由古至今一直在变化，各个时代的“天道”是各不相同的。这既是科学的观测，也是科学的论述。
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到元代，郭守敬等人在1276年又进行了一次大规模的恒星位置测量工作，精确度比宋代又提高约一倍。除了测量传统的恒星的位置外，郭守敬还测量了前人未命名的恒星一千余颗，使记录的星数从传统的1464颗增加到2500颗，并编制成了星表。可惜这份重要的科学成果没有流传下来。西欧到14世纪文艺复兴以前观测的星数是1022颗，我国古代这些恒星观测的业绩，体现出当时恒星位置测量的先进水平。
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对于新星和超新星的观测，在宋代也取得了重大的成就，为世人瞩目的1054年天关客星的观测便是一例。《宋会要》载：“嘉祐元年三月，司天监言：‘客星没，客去之兆也。’初，至和元年五月，晨出东方，守天关（金牛座ξ星），昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”现在，天文学界已广泛承认天关星附近的蟹状星云就是1054年爆发的超新星遗迹。而这次超新星爆发的详细记录，为蟹状星云以及与之相关的中子星等理论问题的研究，提供了宝贵的历史资料。
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天文仪器发展的高峰
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我国古代传统的天文仪器——漏壶、圭表、浑仪、浑象等，到宋元时期都发展到了高峰。
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1031年，燕肃发明了莲花漏法，在漏壶中首次使用了漫流系统（在漏壶的上部开孔，使多余的水由此溢出，以保持漏壶有恒定的水位），基本上消除了漏壶水位的变化对流量的影响，大大提高了漏壶计量时间的准确度，这在漏壶的发展史上是十分重大的革新。我们知道，温度的变化对水的黏滞系数的变化有较大的影响，这直接影响到漏壶流量的变化，亦即影响到时间计量的精度。宋元时期，人们对此进行了许多研究，并采取了若干具体措施，以克服“冬月水涩，夏月水利”【50】的状况。张思训于979年在他所制浑仪中采用水银为动力，即他所用的漏壶以水银代替水，他之所以这样做，正是由于水银的黏滞系数随温度的变化比水要小得多的缘故。元代的詹希元制“五轮沙漏”，以沙代水，更是避免温度变化对水流量影响的一种尝试。由于对漏壶的理论与技术的研究，使时间计量的精度达到了前所未有的水平。
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圭表测影的技术，在这一时期有显著的进步。为克服表端的影子因日光散射而模糊不清的问题，沈括提出了使用“副表”，以增加影子的清晰度的方法；苏颂提出了“于午正以望筒指日，令景透筒窍，以窍心之景，指圭面之尺寸为准”【51】的方法等。更主要的是郭守敬创用了4丈的高表，为传统的8尺之表的5倍，他还依据小孔成像的原理，发明了“景符”这一重要的测影器具。“景符”是安在一个小架子上、可以转动的、中间开有小孔的薄铜片（长4寸、宽2寸）。郭守敬的高表顶上是一根直径3寸的横梁。太阳过子午线时，把景符放在圭面上移动并转动铜片，令太阳光通过小孔，在圭面上形成一米粒大的中间带有一条细而清晰的横梁影子的太阳像，当横梁影子平分太阳像时，梁影所在即4丈高表的影端。这些方法的采用使得测影的精度大大提高。在河南登封观星台，我们还可以看到4丈高表的遗迹。经现场实验，用“景符”测影的精度在±2毫米以内。圭表测影技术的这些进步，为回归年长度、黄赤交角值等天文常数的测量精度的提高创造了条件，明代的邢云路，把表高增至6丈，他所得回归年长度值与理论值比较仅差2秒左右，达到了我国古代该值测量的最高精度。
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北宋所制造的浑仪特别多，从995年到1092年的不到百年之间，先后造了5架巨型浑仪，每架用铜均达2万斤左右，这本身就说明了制造技术的提高和对天象观测的重视。从浑仪的结构方面考察，自汉代以来，为测量各种不同的坐标值的需要，浑仪上增设了越来越多的环，其固定的装置，有地平、子午、天常等环，又有白道、赤道、黄道等游旋的环，以致8、9个圆环遮掩了很大的天区，使用起来很不方便。并且这样多的环放在一个共同的中心上，校正也很困难。浑仪发展到这样复杂的程度，按照事物发展的规律，势必提出加以简化的要求。在北宋就出现了两种发展变化的趋势：一是减少不十分必要的环，二是改变一些环的位置。如沈括就提出了改变位置的建议，同时也取消了白道圈。到郭守敬更进而取消黄道圈，并创造性地设计和制造了著名的简仪。
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简仪改变了测量三种不同坐标的圆环集中装置的方法，把它分解为两个独立的装置（即赤道装置和地平装置），从而简化了仪器结构，保留了四游、百刻、赤道、地平四环，增加了立运环。这样除北天极附近天区外，对绝大部分天空一览无余。又在窥衡两端圆孔中央各置一线，增加了观测的准确性。为了观测赤经差，又在赤道环面上安装两条界衡，界衡两端用细线和极轴北端连接。“简仪”使用许多线以提高精确度，这是一项改进。元以前的仪器只能量到1/12度，而简仪的百刻环每度作36等分，其精确度又大大提高一步。
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图7－13 明制仿郭守敬简仪
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