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一、算术、算学与数学
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数学在中国古代常称为算术。许多数学著作都冠以“算术”之名，如《九章算术》、《孙子算术》等。算术就是“算数之术”，它包括今天数学教科书的算术、代数、几何、三角等方面的内容，因此，它对应于英文的mathematics，而不是arithmetic。后来，算术又称为“算学”、“算法”、“数术”、“术数”，宋元之后，又称为“象数”、“数学”等。“数术”、“术数”、“象数”、“数学”都有象数学，即数字神秘主义的含义。然而中国传统数学著作的主体都属于现今数学的范畴，尤其是宋元之前的数学著作，几乎没有象数学的内容。清中叶之后，“数学”的意义通常与今一致，一直到20世纪30年代，算学与数学并用。不过，用“算学”更多，当时称中国古代数学为“中算”，就是“中国算学”的简称，传入的西方数学为“西算”，就是“西方算学”的简称。1939年6月中国数学名词审查委员会确定用“数学”而不用“算学”指mathe-matics。
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现存清末以前的数学著作有多少，没有精确统计，有人估计约近2000种，其中秦汉至元仅存20余部。但就是这20余部著作使数学成为中国古代最为发达的基础学科之一，并且自公元前3世纪到公元14世纪初一直处于世界先进水平，属于此时世界数学发展的主流。
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二、中国传统数学的发展历程
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关于中国数学史的分期，20世纪的学术界有不同的看法。而且这些不同主要表现在自先秦至元中叶数学的分期上，因为对元中叶至明末中国传统数学的衰落，明末至清末的中西数学的融会贯通，尽管在表述上有所区别，在学术界是没有太多争议的。关于先秦至元中叶数学的分期大体有以下几种：
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中国数学史学科的奠基人之一李俨（1892～1963年）将其分成三个时期：将先秦的数学称为上古期，两汉魏晋南北朝称为中古期，隋唐宋元称为近古期。后来又将隋列入中古期。
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中国数学史学科的另一位奠基人钱宝琮（1892～1974年）既考虑数学内在的发展，又考察数学的发展与当时的社会背景的关系，他打破了按王朝的革鼎分期的方法，分成秦统一以前、秦统一以后到唐代中期、唐代中期到明末几个阶段。
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日本学者薮内清也将其分成三个时期：古代的数学（先秦），《九章》的世界（两汉至魏），六朝至唐宋元的数学。
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还有一些别的分期方法。
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我们认为，钱宝琮的分期思想是可取的。数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据，同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景。我们根据钱宝琮的思想，结合近30年中国数学史的研究成果，将中国数学史分成以下几个阶段：
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中国数学的兴起——原始社会到西周时期的数学；
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中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学；
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中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学；
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中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学；
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传统数学的衰落与珠算的发展——元中叶至明末的数学；
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西方数学的传入与中西数学的融会——明末至清末的数学。
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显然，这种分期方法是在钱宝琮的分期基础上的修正。
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就是说，中国古代数学有三次大的高潮。而在这三次高潮之后，都有不同程度的衰微。下面简要介绍这几个阶段中数学发展的概况。
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（一）中国传统数学的萌芽——远古至夏商西周三代的数学
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中国有文字记载的历史相当早，然而夏、商、西周三代没有任何数学著作流传到现在。不过从出土文物和一些典籍中可以了解当时数学发展的一鳞半爪。
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我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐渐认识了形和数的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，都是几何知识的萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”和画方的“矩”，不少文物中有伏羲、女娲执规矩图（如图1.2所示）。也有传说是黄帝的臣子倕创造了规矩和准绳。大禹治水时，便“左准绳”、“右规矩”。规、矩、准、绳是我们祖先最早使用的数学工具。
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人们丈量土地面积，测算山高谷深，道里远近，计算产量多少，粟米交换，制定历法，都需要数学知识。据《周髀算经》记载，公元前11世纪人们认识到，尽管“天不可阶而升，地不可得尺寸而度”，但使用数学方法可以知道天高地广。商高在答周公问时介绍了勾股形和圆方的某些基本知识，以及用矩测望高、深、广、远的基本方法。周公因此发出“大哉言数”的赞叹，表明当时人们的数学知识已经达到相当高的水平。《大哉言数》成为华罗庚20世纪50年代发表在《人民日报》的一篇科普文章的标题。图1.3是《周髀算经》书影。
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