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就是说，中国古代数学有三次大的高潮。而在这三次高潮之后，都有不同程度的衰微。下面简要介绍这几个阶段中数学发展的概况。
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（一）中国传统数学的萌芽——远古至夏商西周三代的数学
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中国有文字记载的历史相当早，然而夏、商、西周三代没有任何数学著作流传到现在。不过从出土文物和一些典籍中可以了解当时数学发展的一鳞半爪。
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我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐渐认识了形和数的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，都是几何知识的萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”和画方的“矩”，不少文物中有伏羲、女娲执规矩图（如图1.2所示）。也有传说是黄帝的臣子倕创造了规矩和准绳。大禹治水时，便“左准绳”、“右规矩”。规、矩、准、绳是我们祖先最早使用的数学工具。
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人们丈量土地面积，测算山高谷深，道里远近，计算产量多少，粟米交换，制定历法，都需要数学知识。据《周髀算经》记载，公元前11世纪人们认识到，尽管“天不可阶而升，地不可得尺寸而度”，但使用数学方法可以知道天高地广。商高在答周公问时介绍了勾股形和圆方的某些基本知识，以及用矩测望高、深、广、远的基本方法。周公因此发出“大哉言数”的赞叹，表明当时人们的数学知识已经达到相当高的水平。《大哉言数》成为华罗庚20世纪50年代发表在《人民日报》的一篇科普文章的标题。图1.3是《周髀算经》书影。
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《周易·系辞》云：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”说明人们从辨别事物的多寡中认识了数，并以结绳、木刻记数。《世本》说“隶首作数”，隶首是黄帝的臣子，处于新石器时代晚期。事实上，出土的这一时期的许多陶片上有若干数字刻画。出土的殷商甲骨文中有若干数字，其中最小的是“一”，最大的是“三万”，一、十、百、千、万各有专名。甲骨文使用十进制记数法，并有了位值制的萌芽（如图1.4所示）。
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《老子》说“善数不用筹策”，说明最迟在春秋时期人们已经普遍使用算筹。图1.5所示是出土的西汉算筹，图1.6所示是算筹记数。实际上，许多陶文中已有算筹符号。算筹的完善应该是春秋以前的事情。算筹是当时世界上最方便的计算工具，并且采用十进位值制记数。十进位值制记数法是当时世界上最方便的记数制度。算筹与十进位值制记数法是两项具有世界意义的成就。中国古代数学长于计算，原因固然很多，不能不说与这两项成就有直接的关系。用算筹进行计算，就是筹算。中国传统数学的主要成就大多是借助算筹和筹算完成的。
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相传西周初年数学就成为贵族子弟教育中六门必修课程——“六艺”之一。刘徽说：“周公制礼而有九数。”“九数”是数学的9个部分，它们虽不是后来郑众、郑玄所说的那九数，但周公九数是二郑九数的先导，并且有后者的一部分内容，比如有方田面积、粟米互换，以及简单的圆方、勾股、测望等数学方法，则是无疑的。在某种意义上说，到西周，数学已经成为一个学科。不过，总的说来，从远古到三代，数学的发展相当缓慢。
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（二）中国传统数学“九数”框架的确立——以《九章算术》为代表的春秋战国秦汉数学
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春秋、战国、秦、汉奠定了中国作为一个统一国家在体制、事功、疆域、物质文明和思想文化等方面的基础，奠定了中华民族的文化心理结构，也奠定了中国传统数学的基础。平王东迁，西周灭亡，开始了春秋时期（公元前770～前476年）。春秋时期随着铁器的大量使用，生产力大为提高，导致夏、商、西周以来的封建宗族制度逐渐解体，社会开始了大变革。当时礼崩乐坏，畴人四散，学术下移，私学出现，百家争鸣，是思想界非常活跃的时期，也是数学大发展的时期。《左传》记载了公元前6世纪的两次筑城工程，一次发生在公元前589年的楚国：
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令尹蒍艾猎城沂，使封人虑事，以授司徒。量功命日，分财用，平板干，称畚筑，程土物，议远迩，略基趾，具𫘳粮，度有司，事三旬而成，不愆于素。
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另一次是晋士弥牟在公元前511年为周筑城。这两次筑城的记载，虽未列出算式，却说明在规划筑城工程、计算立体体积、分配工作量、组织施工及其后勤供应，乃至简单的测望及公平负担等的计算时必须用到粟米、衰分、体积、商功、测望甚至均输等各类问题的算法，而且计算相当准确，计划相当周密。这正是“九数”的一部分内容。
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《周髀算经》记载公元前5世纪数学家陈子在答荣方问时阐发了数学的表现形式是“类以合类”，数学方法即所谓“道术”具有“言约而用博”的特点，学习数学要能“通类”，做到“问一类而以万事达”等重要思想。
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陈子的话说明当时已经存在着大量的“类以合类”的数学方法和知识。陈子的思想就是对这种已经存在的数学知识的总结，也在实际上规范了中国传统数学的形式和特点。《九章算术》和《算数书》主体部分的表现形式恰恰就是“类以合类”。它们中的相当部分完成于陈子之前，当无可疑。
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战国时期（公元前475～前221年）各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。刘徽说：“九数之流，则《九章》是矣。”尽管这种《九章》已不存在，先秦也没有一部数学著作流传到今天，但是，人们通过田地及国土面积的测量，粟米的交换，收获及战利品的分配，城池的修筑，水利工程的设计施工，赋税的合理负担，产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。根据对《九章算术》的体例和结构的分析，其主体部分与二郑所说的九数——方田、粟米、差分、少广、商功、均输、赢不足、方程、旁要十分吻合，说明二郑和刘徽所说的“九数”是确实存在的，并且基本一致。也就是说，《九章算术》主要反映了先秦的数学成果，汉简《算数书》为这种看法提供了佐证。这表明在春秋战国时期，中国传统数学达到了第一个高潮，而西汉编定《周髀算经》、《九章算术》，是这个高潮的总结。图1.7所示是《算数书》竹简，图1.8所示是《九章算术》书影。
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因此，在朝代革鼎上春秋战国与西周同属周朝，但在数学上却不能将春秋战国与夏、商、西周混为一谈。它们应该是两个阶段。也就是说，从远古到夏、商、西周是一个阶段，即中国传统数学的萌芽阶段。而春秋战国开始了数学发展的一个新阶段。同样，在政治史上，秦统一中国，结束了列国纷争，开创了中央集权新阶段，公元前221年成为先秦与秦汉的关节点。但是在数学上却难以将春秋战国与秦汉划成两个阶段，它们同属以《九章算术》为代表的第二个阶段。
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