1701097374
1701097375
社会的变革及农业、手工业、商业的繁荣推动了数学和科学技术的发展。指南针、火药、印刷术虽不是宋元时期发明的，但是指南针用于航海，火药用于军事，印刷术用于印刷文史和数学经典著作，都始于五代和北宋，造纸技术也有长足进步。元丰七年（1084年）北宋秘书省刊刻了《九章算术》等汉唐算经，宋元许多数学著作成书不久即被刊刻。印刷和造纸对数学和科学技术知识的传播，进而对其发展的作用是不可估量的。
1701097376
1701097377
辽、金、元有远见的统治者大都采取了以汉化为方向的加速各民族融合的政策。各民族的大融合提高了中华民族的素质。宋、辽、金、西夏、元之间的争斗当然对经济和科学技术的发展有破坏作用，但是，也促进了与之有关的数学和科学技术的发展，而且各个政权所统治的地区大部分时间还都保持了相对稳定。同时，乱世堵塞了知识分子读经入仕的道路，使他们摆脱科举仕途，有的便转向了数学和科学技术的研究。儒家经典从个人发展的敲门砖变成了一种知识。
1701097378
1701097379
唐中叶之后，儒家的统治地位遭到极大削弱。两宋期间，儒家虽居于统治地位，产生了程朱理学，但其代表人物北宋的程颐、程颢、周敦颐、张载等，南宋的陈亮、朱熹等的思想主张并不一致，经常互相争辩。理学有相当大的影响，但还没有占据思想界的统治地位。理学对数学和科学技术发展的影响是负面的还是正面的，值得进一步研究。金、元统治者在倡导汉化时尽管褒奖儒学，但是北方知识分子往往是既佩服宋儒，同时也提出不少独立见解。“宋儒之议论不为无功而亦不能无罪焉”，反映了金元知识分子的主流思潮。大数学家李冶深受当时议论之学的影响，对历代经史子集中的论述尽情褒贬。
1701097380
1701097381
战乱给道家和道教的发展、传播提供了土壤。乱世本身和个人的遭遇也会使读书人反思过去的信仰、所走过的道路和作为。一些道教徒热衷于数学、自然科学和技术的研究，讨论勾股形与圆的关系的“洞渊九容”就是洞渊派道教的杰作。南宋末元初的道教徒赵友钦在数学、天文学上有突出贡献。另一方面，战乱使一些知识分子常常以道观作为避乱、逃世的场所，他们的思想不可避免地会受到道家和道教影响。李冶年轻时是名重中原的大儒，元灭金的战乱及金亡后多年的颠沛流离的困苦生活，使他倾向于道家思想。
1701097382
1701097383
总的说来，宋元时期思想界还相对宽松。而思想界宽松，数学家的思想不被一些僵死的教条束缚，有自由想像的空间，能够充分发挥自主思考，是数学发展的必要条件。宋元时期在一定程度上满足了这个条件。
1701097384
1701097385
社会生产、生活的需要是数学发展的强大动力。李冶《益古演段自序》云：“术数虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务。”秦九韶尽管将数学的作用概括为“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”，但他坦诚地说：对所谓大者，“固肤末于见”，而致力于小者，“窃尝设为问答以拟于用”。《数书九章序》中的9段系文更形象地说明了数学的实际应用：
1701097386
1701097387
昆仑旁礴，道本虚一。圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。数术之传，以实为体。其书《九章》，唯兹弗纪。历家虽用，用而不知。小试经世，姑推所为。述大衍第一。
1701097388
1701097389
七精回穹，人事之纪。追缀而求，宵星昼晷。历久则疏，性智能革。不寻天道，模袭何益？三农务穑，厥施自天。以滋以生，雨膏雪零。司牧闵焉，尺寸验之。积以器移，忧喜皆非。述天时第二。
1701097390
1701097391
魁隗粒民，甄度四海。苍姬井之，仁政攸在。代远庶蕃，垦菑日广。步度庀赋，版图是掌。方圆异状，衺窳殊形。叀术精微，孰究厥真。差之毫厘，谬乃千里。公私共弊，盍谨其籍。述田域第三。
1701097392
1701097393
莫高匪山，莫浚匪川。神禹奠之，积矩攸传。智创巧述，重差夕桀。求之既详，揆之罔越。崇深广远，度则靡容。形格势禁，寇垒仇墉。欲知其数，先望以表。因差施术，坐悉微渺。述测望第四。
1701097394
1701097395
邦国之赋，以待百事。畡田经入，取之有度。未免力役，先商厥功。以衰以率，劳逸乃同。汉犹近古，税租以算。调均钱谷，河菑之扦。惟仁隐民，犹已溺饥。赋役不均，宁得勿思。述赋役第五。
1701097396
1701097397
物等敛赋，式时府庾。粒粟寸丝，褐夫红女。商征边籴，后世多端。吏缘为欺，上下俱殚。我闻理财，如智治水。澄源浚流，维其深矣。彼昧弗察，惨急烦刑。去理益远，吁嗟不仁。述钱谷第六。
1701097398
1701097399
斯城斯池，乃栋乃宇，宅生寄命，以保以聚。鸿功雉制，竹个木章。匪究匪度，财蠹力伤。围蔡而栽，如子西素。匠计灵台，俾汉文惧。惟武图功，惟俭昭德。有国有家，兹焉取则。述营建第七。
1701097400
1701097401
天生五材，兵去未可。不教而战，维上之过。堂堂之阵，鹅鹳为行。营应规矩，其将莫当。师中之吉，惟智仁勇。夜算军书，先计攸重。我闻在昔，轻则寡谋。殄民以幸，亦孔之忧。述军旅第八。
1701097402
1701097403
1701097404
1701097405
日中而市，万民所资。贾贸鬻，利析锱铢。财役贫，封君低首。逐末兼并，非国之厚。述市易第九。
1701097406
1701097407
秦九韶在这里论述了数学在天文观测、历法制定、雨雪量、田亩面积、目的物的高深广远、赋税、财政、土木工程和建筑、军旅、海内外贸易等方面的应用，几乎包括了数学应用的所有方面。
1701097408
1701097409
数学知识对维护社会正义也有极大的作用。秦九韶反对横征暴敛，认为赋役应该取之有度，公平合理，反对豪强地主隐田逃税，主张精确测算土地面积，按土地的肥腴制定赋税量；秦九韶认为理财应该像大禹治水那样，“澄源浚流”，既要防止官吏的欺瞒豪取，使国家与民众资殚财尽，也要防止不体察下情，动辄用刑的苛政。所有这些，都离不开数学计算。秦九韶有强烈的仁政思想，将数学知识看成反对官府和豪强地主横征暴敛的有力工具。
1701097410
1701097411
秦九韶主张抗战，适应抗金、抗蒙战争需要，《数书九章》特设“军旅类”，他设计了有关军营布置、队列变换、军需供应、兵器制造、敌情侦察等11个题目。
1701097412
1701097413
北宋的统治者比较重视数学。11世纪上半叶出现了以楚衍、贾宪、朱吉等师徒为核心的数学研究团队。元丰七年（1084年），秘书省刊刻了《周髀算经》、《九章算术》等十部算经，是为世界数学史上首次印刷数学著作。13世纪初，南宋鲍澣之翻刻了这些算经，是为世界上现存最早的印刷本数学著作（如图1.10所示）。
1701097414
1701097415
1701097416
1701097417
1701097418
算学馆在北宋几经置废，但大部分时间还是存在的；崇宁（1102～1106年）间还发布国子监算学令、算学格，对国子监算学馆的教材、考试要求、官职，科举科目，以及及第后的任用等都做了规定，反映了北宋统治者重视数学教育的态度。
1701097419
1701097420
北宋大观三年（1109年）礼部颁布了“算学祀典”，给五代前66位数学家、历算学家加封五等爵，陪祀孔子。囿于当时的认识水平和制定者的局限性，所封爵位的高低与数学、天文学成就的大小极不相称。但是，算学祀典本身无论如何反映了北宋政权对数学的重视。北宋之前，除了隋唐设算学馆和明算科之外，数学活动基本上是个人的行为。北宋则不然，设算学馆，印数学书，立算学祀典，都是中央政府的举措。可以说，明之前，没有任何一个王朝像北宋这样重视数学。
1701097421
1701097422
元朝的统治者也重视数学教育。莫若说“方今尊崇算学，科目渐兴”，并不是虚浮粉饰之辞，确实反映了经过忽必烈的提倡，尊崇数学，已成为社会风气。正是在这种社会氛围下，朱世杰“以数学名家周游湖海”，才能出现“四方之来者日众”，“踵门而学者云集”的景象。
1701097423