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魁隗粒民，甄度四海。苍姬井之，仁政攸在。代远庶蕃，垦菑日广。步度庀赋，版图是掌。方圆异状，衺窳殊形。叀术精微，孰究厥真。差之毫厘，谬乃千里。公私共弊，盍谨其籍。述田域第三。
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莫高匪山，莫浚匪川。神禹奠之，积矩攸传。智创巧述，重差夕桀。求之既详，揆之罔越。崇深广远，度则靡容。形格势禁，寇垒仇墉。欲知其数，先望以表。因差施术，坐悉微渺。述测望第四。
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邦国之赋，以待百事。畡田经入，取之有度。未免力役，先商厥功。以衰以率，劳逸乃同。汉犹近古，税租以算。调均钱谷，河菑之扦。惟仁隐民，犹已溺饥。赋役不均，宁得勿思。述赋役第五。
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物等敛赋，式时府庾。粒粟寸丝，褐夫红女。商征边籴，后世多端。吏缘为欺，上下俱殚。我闻理财，如智治水。澄源浚流，维其深矣。彼昧弗察，惨急烦刑。去理益远，吁嗟不仁。述钱谷第六。
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斯城斯池，乃栋乃宇，宅生寄命，以保以聚。鸿功雉制，竹个木章。匪究匪度，财蠹力伤。围蔡而栽，如子西素。匠计灵台，俾汉文惧。惟武图功，惟俭昭德。有国有家，兹焉取则。述营建第七。
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天生五材，兵去未可。不教而战，维上之过。堂堂之阵，鹅鹳为行。营应规矩，其将莫当。师中之吉，惟智仁勇。夜算军书，先计攸重。我闻在昔，轻则寡谋。殄民以幸，亦孔之忧。述军旅第八。
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日中而市，万民所资。贾贸鬻，利析锱铢。财役贫，封君低首。逐末兼并，非国之厚。述市易第九。
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秦九韶在这里论述了数学在天文观测、历法制定、雨雪量、田亩面积、目的物的高深广远、赋税、财政、土木工程和建筑、军旅、海内外贸易等方面的应用，几乎包括了数学应用的所有方面。
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数学知识对维护社会正义也有极大的作用。秦九韶反对横征暴敛，认为赋役应该取之有度，公平合理，反对豪强地主隐田逃税，主张精确测算土地面积，按土地的肥腴制定赋税量；秦九韶认为理财应该像大禹治水那样，“澄源浚流”，既要防止官吏的欺瞒豪取，使国家与民众资殚财尽，也要防止不体察下情，动辄用刑的苛政。所有这些，都离不开数学计算。秦九韶有强烈的仁政思想，将数学知识看成反对官府和豪强地主横征暴敛的有力工具。
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秦九韶主张抗战，适应抗金、抗蒙战争需要，《数书九章》特设“军旅类”，他设计了有关军营布置、队列变换、军需供应、兵器制造、敌情侦察等11个题目。
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北宋的统治者比较重视数学。11世纪上半叶出现了以楚衍、贾宪、朱吉等师徒为核心的数学研究团队。元丰七年（1084年），秘书省刊刻了《周髀算经》、《九章算术》等十部算经，是为世界数学史上首次印刷数学著作。13世纪初，南宋鲍澣之翻刻了这些算经，是为世界上现存最早的印刷本数学著作（如图1.10所示）。
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算学馆在北宋几经置废，但大部分时间还是存在的；崇宁（1102～1106年）间还发布国子监算学令、算学格，对国子监算学馆的教材、考试要求、官职，科举科目，以及及第后的任用等都做了规定，反映了北宋统治者重视数学教育的态度。
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北宋大观三年（1109年）礼部颁布了“算学祀典”，给五代前66位数学家、历算学家加封五等爵，陪祀孔子。囿于当时的认识水平和制定者的局限性，所封爵位的高低与数学、天文学成就的大小极不相称。但是，算学祀典本身无论如何反映了北宋政权对数学的重视。北宋之前，除了隋唐设算学馆和明算科之外，数学活动基本上是个人的行为。北宋则不然，设算学馆，印数学书，立算学祀典，都是中央政府的举措。可以说，明之前，没有任何一个王朝像北宋这样重视数学。
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元朝的统治者也重视数学教育。莫若说“方今尊崇算学，科目渐兴”，并不是虚浮粉饰之辞，确实反映了经过忽必烈的提倡，尊崇数学，已成为社会风气。正是在这种社会氛围下，朱世杰“以数学名家周游湖海”，才能出现“四方之来者日众”，“踵门而学者云集”的景象。
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在这种社会背景下，中国的筹算数学在宋元达到了最高峰，出现几个明显的数学研究中心。北宋11世纪上半叶在汴京（今开封）有一个以楚衍、贾宪为代表的数学中心，在开方术的改进、算法的抽象化等方面有重大贡献。13世纪下半叶更同时出现了南北两个数学中心。一个是长江下游以秦九韶、杨辉为代表，撰著了《数书九章》（1247年）、《详解九章算法》（1261年）、《杨辉算法》（1274～1275年）等著作，发展了高次方程数值解法、同余方程组解法、垛积术，以及乘除捷算法等等。南宋数学著作如图1.11所示。一个是太行山两侧，发展了勾股容圆，以及以天元术、二元术、三元术等为主的列出并求解高次方程和多元高次方程组的方法，当时有许多著作，现仅存李冶的《测圆海镜》（1248年）、《益古演段》（1259年）。元统一中国之后，朱世杰撰《算学启蒙》（1299年）、《四元玉鉴》（1303年），综合两个中心的长处，创造四元术，将垛积术和招差术发展到相当系统、完备的程度，在改进筹算乘除捷算法方面也有杰出的贡献。元数学著作如图1.12所示。
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当时出现了一系列欧洲近代才达到的重大成果。如唐中叶就有十进小数的概念，而欧洲在1585年斯台文才在运算中使用小数，其记法还十分不方便；贾宪创造的贾宪三角，西方称为帕斯卡三角，晚出五六百年；贾宪的增乘开方法，欧洲19世纪初鲁菲尼、霍纳才有同类的成果；秦九韶总结的大衍总数术即一次同余方程组解法，近代数学大师欧拉（1707～1873年）才达到其水平；朱世杰的四元术即多元高次方程组解法，别朱（1775年）才有同类的方法；朱世杰的高次招差法公式，欧洲格利高里（1670年）、牛顿（1676年）才得到。
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（五）中国传统数学主流的转变与珠算的普及——元中叶至明末的数学
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宋元数学的两个方向，高深的数学研究与大众化的应用，在《四元玉鉴》之后直到明末，有完全不同的遭遇，这导致中国数学的发展方向和主流发生了重大的转变。
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一个明显的事实是，汉唐宋元的重要数学著作无人问津，不仅没有翻刻，反而失传或几乎失传。比如中国传统数学最重要的经典《九章算术》的后半部就失传了。仅存的半部，一般读书人也看不到。明代吴敬、王文素所说的《九章算术》并不是传本《九章算术》，而是杨辉书中引用的《九章》内容。其他著作，如《数书九章》、《四元玉鉴》，也只是在藏书家的书阁睡大觉。唯一的例外是李冶的《测圆海镜》，明大数学家顾应祥研究过，但对其中以天元术列方程的方法看不懂，“无下手之处”，尽行删去。实际上，不仅天元术，对四元术、增乘开方法，也没有人看懂。对一次同余方程组解法、垛积术等虽还有人研究，但也未达到宋元的水平。
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