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陈子的话说明当时已经存在着大量的“类以合类”的数学方法和知识。陈子的思想就是对这种已经存在的数学知识的总结，也在实际上规范了中国传统数学的形式和特点。《九章算术》和《算数书》主体部分的表现形式恰恰就是“类以合类”。它们中的相当部分完成于陈子之前，当无可疑。
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战国时期（公元前475～前221年）各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。刘徽说：“九数之流，则《九章》是矣。”尽管这种《九章》已不存在，先秦也没有一部数学著作流传到今天，但是，人们通过田地及国土面积的测量，粟米的交换，收获及战利品的分配，城池的修筑，水利工程的设计施工，赋税的合理负担，产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。根据对《九章算术》的体例和结构的分析，其主体部分与二郑所说的九数——方田、粟米、差分、少广、商功、均输、赢不足、方程、旁要十分吻合，说明二郑和刘徽所说的“九数”是确实存在的，并且基本一致。也就是说，《九章算术》主要反映了先秦的数学成果，汉简《算数书》为这种看法提供了佐证。这表明在春秋战国时期，中国传统数学达到了第一个高潮，而西汉编定《周髀算经》、《九章算术》，是这个高潮的总结。图1.7所示是《算数书》竹简，图1.8所示是《九章算术》书影。
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因此，在朝代革鼎上春秋战国与西周同属周朝，但在数学上却不能将春秋战国与夏、商、西周混为一谈。它们应该是两个阶段。也就是说，从远古到夏、商、西周是一个阶段，即中国传统数学的萌芽阶段。而春秋战国开始了数学发展的一个新阶段。同样，在政治史上，秦统一中国，结束了列国纷争，开创了中央集权新阶段，公元前221年成为先秦与秦汉的关节点。但是在数学上却难以将春秋战国与秦汉划成两个阶段，它们同属以《九章算术》为代表的第二个阶段。
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实际上，战国数学有两个方向：除了以《九章算术》和《算数书》所反映的以“九数”为代表的传统数学外，还有以墨家数学为代表的理论数学研究的萌芽。《墨经》提出许多数学定义，如“圜，一中同长也”就是关于圆的严谨定义。《墨经》还有许多数学或有数学含义的命题，比如“经：非半弗𣃈则不动，说在端”就是一个关于无穷小分割的命题。
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秦始皇统一中国，结束了列国纷争，首次建立了中央集权的封建帝国，本应有利于数学的发展。但他的专制政策窒息了百家争鸣的学术空气，特别是墨家从此被视为异端遭到镇压，理论数学研究的方向被扼杀于襁褓之中。秦朝的残暴统治及随后而来的秦末战乱，尤其是项羽的烧杀，给中国的文化事业造成空前的浩劫。刘徽说“暴秦焚书，经术散坏”，《九章算术》也遭到破坏。
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刘邦利用推翻暴秦的农民起义，统一了中国，建立了汉朝。西汉政府与民生息，社会生产力得到恢复、发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力。人们提出了若干算术难题，创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时，人们特别注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍抢救工作的结晶，便是《九章算术》的整理成书。根据刘徽的记载，主要整理者是张苍（？～公元前152年）、耿寿昌（公元前1世纪）。
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汉初的政治思想统治比较宽松，除墨家外，在秦朝遭到镇压的儒家等诸子学说都有不同程度的流行。西汉前期的统治者笃信以道家统摄儒、法而形成的黄老之学，主张无为而治，而知识分子信奉荀派儒学的很多。解决人们生产、生活中提出的数学问题，更成为数学著作的首要目的。《九章算术》是张苍等在荀派儒学的思想指导下编纂的。
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《九章算术》集三代以来数学知识之大成，是春秋战国数学高潮的总结，在分数四则运算、比例和比例分配算法、盈不足算法、开平方法与开立方法、线性方程组解法、正负数加减法则、解勾股形和勾股数组等方面走在了世界的前面，有的超前其他文化传统数百年，甚至上千年。《九章算术》奠定了中国传统数学的基本特点，不仅影响了此后约两千年间中国和东方的数学发展，而且标志着中国（还有后来的印度和阿拉伯地区）取代地中海沿岸的古希腊成为世界数学研究的重心，标志着以研究数量关系为主、以归纳逻辑与演绎逻辑相结合的算法倾向取代以研究空间形式为主、以演绎逻辑的公理化倾向，成为世界数学发展的主流。
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《九章算术》成书之后，中国数学著作基本上采取两种形式，一是为《九章算术》作注，二是编纂新的数学著作。在这两方面都取得了极大的成绩。
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（三）中国传统数学理论体系的奠基——以刘徽《九章算术注》为代表的汉末至唐初数学
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东汉末年起，中国的经济、政治和社会思潮发生了重大变革。
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东汉末年，社会矛盾加剧，光和七年（公元184年）爆发了黄巾农民起义。这次起义尽管很快被地主武装镇压下去，却从根本上动摇了东汉政权。汉末之后100余年间，尽管统一只有30多年，并且还有汉末战乱及三国的征战，西晋的贾后及八王之乱，但在曹操统一北方之后的90余年间，中原地区、长江中下游、巴蜀地区还是相对稳定的，社会经济得到一定程度的恢复发展。尤其是，长江中下游经济崛起，走上超过北方，开始改变全国经济重心的历程。魏晋时期的民族大融合，提高了中华民族的素质。同时，社会经济、政治乃至社会思潮发生了极大的变革，促进了数学的发展。
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在汉末战乱和军阀混战中，自给自足的庄园经济得到进一步发展，到魏晋已成为主要的经济形态。这些庄园占有大量依附农民、佃客和部曲。部曲成为一个人数相当广泛的社会阶层，并带有世袭的性质。这种庄园经济不仅生产农、牧、渔业产品，还经营各种手工业，大约除了晒盐之外，人们日常生活所需，几乎什么都可以制造。
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与庄园经济相适应的是门阀世族制度的确立。魏、蜀、吴三国都是在不同程度上以门阀世族为其统治骨干。门阀世族取代了秦汉的世家地主，占据了政治舞台的中心。
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地主庄园经济和门阀世族制度固然会使少数人过着不劳而获的奢靡生活，而按等级分配权力，世族与庶族的严格界限也不利于社会的进步，但同时也应该看到，这也会使一部分世族及其子弟，或自己，或供养一些门客，他们比以往的读书人更加有条件专注于脑力劳动，从事科学、文化的创造。魏晋玄学的兴起，辩难之风的开展，乃至数学上理论创造的卓著，不能不说与此有密切关系。
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社会动乱的加剧，中央集权体制的瘫痪，伦理纲常的颓败，满口仁义道德的“名士”的丑行，迫使人们对儒家的说教进行反思。儒学在思想界的统治地位动摇了。人们试图从先秦诸子或两汉异端思想家那里寻求思想武器，作为维护封建秩序、名教纲常的理论根据，并为乱世中的新贵们服务。思想界面临着一次大解放。繁琐的两汉经学退出了历史舞台，而西汉独尊儒术之后受到压制的先秦诸子，甚至被视为异端的墨家，重新活跃起来。思想解放最突出的是玄学与辩难之风的兴起。何晏（？～公元249年）、王弼（公元226～249年）等思想家研究《老子》、《庄子》和《周易》，将道家的“道法自然”与儒家的名教融会在一起，主张“名教本于自然”，用道家的“无为”取代儒家的“有为”，史称“正始（公元240～248年）之音”。他们用以谈资的《老子》、《庄子》和《周易》称为“三玄”，后来人们将他们的学问称为“玄学”。玄学家们经常在一起辩论一些命题，互相诘难，称为“辩难之风”。正始之音是魏晋玄学的开篇，它几乎支配了魏晋南北朝思想史的发展流向，玄学已经取代了儒家的正统思想地位，成为社会主要思潮。公元249年，司马懿发动政变，杀死何晏等正始名士，迫使一些名士进一步走上玄虚淡泊的道路。此后嵇康（公元223～262年）、阮籍（公元210～263年）等竹林七贤任性不羁，蔑视礼法，主张“越名教而任自然”，宣称“非汤武而薄周孔”，突破了正始之音力图调和儒道的观点，学术界的思想进一步解放。
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玄学是研究自然与人的本性的学问，主张顺应自然的本性，对以自然界为研究对象的自然科学和技术的发展当然是有利的因素。玄学名士特别重视“理胜”。因此，探讨“理胜”的途径，探讨思维规律，成为学者们的一项重要任务，这就是“析理”。“析理”是名士们进行辩论的主要方法，甚至成为辩难之风的代名词。玄学名士“析理”时遵循“易简”的规范。
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先秦诸子的抽象能力大都是比较强的，但是两汉学者的抽象思维能力却明显低于先秦。玄学家们辩难的命题大都十分抽象，思辨水平相当高。这是中华民族抽象思维的空前发展。
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数学由于是最严密、最艰深的学问，经常成为玄学家们析理的论据。同样，数学的发展也深受魏晋玄学的影响。刘徽对《九章算术》“析理以辞，解体用图”，当然与思想界的“析理”有不同的内容。但是，他对数学概念进行定义，追求概念的明晰；对《九章算术》的命题进行证明或驳正，追求推理的正确、证明的严谨等，即在追求数学的“理胜”上，与思想界的析理是一致的。在析理的原则上，刘徽与嵇康、王弼、何晏等都认为“析理”应“要约”，“约而能周”，主张“举一反三”，“触类而长”，反对“多喻”，“远引繁言”。不难看出，刘徽析数学之理，深受辩难之风中“析理”的影响。
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这些都说明，当时思想界的析理与数学是相辅相成，相得益彰。刘徽的《九章算术注》（如图1.9所示），便是魏晋玄学与辩难之风影响下的产物。这之前，东汉末徐岳致力于记数法和计算工具的改革，赵爽以简洁的文字证明了当时的勾股知识。魏晋尽管时间跨度不长，在中国数学史上的地位却极其重要，不仅大大超过秦汉数学，而且再次登上了世界数学发展的高峰，特别是理论高峰。魏晋数学家们的业绩主要在数学方法、数学证明和数学理论方面。因此以刘徽《九章算术注》为代表的魏晋数学无论从数学的研究方向，还是理论高度，逻辑方法，都与《九章算术》时代有明显的不同，应该属于另一个阶段，这就是中国传统数学理论奠基的阶段。
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这一时期的主要数学工作是：
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刘徽发展了《九章算术》的率概念和齐同原理，指出率和齐同原理是“算之纲纪”。