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1701097624 这是现存资料中关于《九章算术》编纂的最早的描述。自清中叶的戴震起,便否认刘徽的说法。20世纪30~70年代,学术界占统治地位的说法是钱宝琮提出的《九章算术》成书于公元1世纪。实际上,戴震、钱宝琮否认刘徽的说法的论据,大都已被历史文献和出土文物所否定。对文献中关于“九数”的记载以及《九章算术》的体例和结构的分析,对《九章算术》所反映的物价的全面分析,无一不证明刘徽说法的正确性。《算数书》尽管不是《九章算术》的前身,然而《算数书》所反映的先秦的数学成就,也为刘徽的说法提供了佐证。因此,刘徽的说法,是最准确的。就是说,在先秦已经存在某种形态的《九章算术》,它在秦火及秦末战乱中遭到破坏。西汉张苍(?~前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)搜集遗残,加以删补,编定了《九章算术》。
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1701097626 (二)《九章算术》的内容和成就——以解勾股形为例
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1701097628 1.《九章算术》各章的内容
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1701097630 《九章算术》分九章,其各章的数学方法与要解决的问题如下:
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1701097632 (1)方田。刘徽说“以御田畴界域”,解决田地面积问题,给出若干直线形、曲线形的面积的抽象公式。更重要的,提出世界上最早的系统、完整、抽象的分数四则运算法则。
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1701097634 (2)粟米。刘徽说“以御交质变易”,解决粟米互换问题。提出十分抽象的“今有术”,即比例算法。此法在后来的印度和西方后称为三率法。
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1701097636 (3)衰分。刘徽说“以御贵贱禀税”,用“衰分术”、“返衰术”解决比例分配问题。后半章是贸易、取保、贷钱等应用题,应该用今有术求解。
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1701097638 (4)少广。刘徽说“以御积幂方圆”,解决面积、体积的逆运算问题。提出了世界上最早的开平方、开立方的抽象程序。
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1701097640 (5)商功。刘徽说“以御功程积实”,解决土方工程中工作量的分配问题。提出了若干多面体、圆体的抽象的体积公式。
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1701097642 (6)均输。刘徽说“以御远近劳费”,解决赋税中的合理负担问题,是更为复杂的衰分问题。后半章是各种算术难题。
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1701097644 (7)盈不足。刘徽说“以御隐杂互见”,解决盈亏类问题,并用盈不足术,通过两次假设解决一般数学问题,在世界数学史上影响巨大。
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1701097646 (8)方程。“方程”即现今线性方程组,刘徽说“以御错糅正负”。提出了世界上最早的“方程术”即线性方程组解法,“正负术”即正负数加减法则,以及列“方程”的方法“损益”法。
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1701097648 (9)勾股。刘徽说“以御高深广远”,提出了抽象的“勾股术”即勾股定理,给出了解勾股形的各种方法,提出了世界上最早的勾股数组通解公式,以及勾股容方、勾股容圆和一次测望问题。
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1701097650 以上这些成就中,分数四则运算法则,比例问题算法,盈不足术,开方术,方程术,正负术,损益法,解勾股形方法及勾股数组通解公式等在世界数学史上占有重要地位,超前其他文化传统几个世纪甚至上千年。下面仅谈勾股问题。
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1701097652 2.解勾股形
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1701097654 《九章算术》勾股章的内容相当丰富而重要。今以“持竿出户”问为例,以见一斑。此问是:
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1701097656 今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问:户高、广、邪各几何?
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1701097658 答曰:广六尺,高八尺,邪一丈。
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1701097660 术曰:从、横不出相乘,倍而开方除之。所得,加从不出,即户广;加横不出,即户高;两不出加之,得户邪。
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1701097662 刘徽认为门户的高、广、邪构成一个勾股形,这是已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦的问题,如图2.2所示。《九章算术》的术文应用了公式:
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1701097670 刘徽记载了其推导方法。弦方c₂可以分解为股方b₂与一个面积为勾方a₂的折矩形,其宽为c-b,如图2.2(a)所示;亦可以分解为勾方a₂与一个面积为股方b₂的折矩形,其宽为c-a,如图2.2(b)所示。将其中一个旋转180°,叠合到另一个上,如图2.2(c)所示。考虑两折矩形,它们的面积之和是c₂,未填满弦方c₂中以a+b+c为边长的小正方形,却在两端长c-a,宽c-b的两矩形重合。因此,
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