1701097772
1701097773
（三）无穷小分割方法和极限思想
1701097774
1701097775
1．刘徽割圆术的主旨和求圆周率的程序
1701097776
1701097777
刘徽的圆田术注即割圆术分两部分。第一部分是证明《九章算术》的圆面积公式“半周半径相乘得积步”。第二部分是求圆周率。
1701097778
1701097779
《九章算术》提出了圆面积公式：
1701097780
1701097781
半周半径相乘得积步。
1701097782
1701097783
用现代符号写出，就是：
1701097784
1701097785
1701097786
1701097787
1701097788
其中S，L，r分别是圆面积、圆周长和半径。刘徽之前是以圆内接正六边形的周长作为圆周长，以圆内接正十二边形的面积作为圆面积，使用出入相补原理，推证这个公式的。刘徽认为，这种推证基于周三径一，因而实际上并没有严格证明圆面积公式，遂提出了使用极限思想和无穷小分割方法的证明方法，如图2.5所示。他说：
1701097789
1701097790
1701097791
1701097792
1701097793
又按：为图。以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
1701097794
1701097795
这是对《九章算术》圆面积公式（2-1）的一个完整的证明。刘徽首先使用了几个极限过程。如图2.6（a）、（b）所示，他从圆内接正六边形开始割圆。设第n次分割得到正6·2ⁿ
1701097796
1701097797
1701097798
1701097799
1701097800
边形的面积为Sn，刘徽认为
1701097801
1701097802
1701097803
1701097804
1701097805
同时，
1701097806
1701097807
1701097808
1701097809
1701097810
刘徽考虑与圆合体的正无穷多边形，将它分割成以圆心为顶点，以每边为底的无穷多个小等腰三角形，每个的高r，设每个的底边长l，面积为A，如图2.6（c）所示。显然rl＝2A，所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长：∑l＝L，它们的面积之和等于圆面积：∑A＝S。因此，∑lr＝Lr＝∑2A＝2S，故得到（2-1）式，完成了证明。
1701097811
1701097812
刘徽指出，公式（2-1）中的周、径，是“至然之数”，不是周三径一，因此需要求其“至然之数”，即圆周率，从而提出了求圆周率近似值的程序（如图2.7所示）。
1701097813
1701097814
1701097815
1701097816
1701097817
1701097818
1701097819
1701097820
他仍从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，得到圆内接正12，24，48，96，192边形，援引勾股定理，计算出它们的边长以及正96边形的面积，正192边形的面积。刘徽求出差幂然后说：
1701097821