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刘徽指出，公式（2-1）中的周、径，是“至然之数”，不是周三径一，因此需要求其“至然之数”，即圆周率，从而提出了求圆周率近似值的程序（如图2.7所示）。
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他仍从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，得到圆内接正12，24，48，96，192边形，援引勾股定理，计算出它们的边长以及正96边形的面积，正192边形的面积。刘徽求出差幂然后说：
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加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率，而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数。……令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。
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刘徽由计算得出因此取314寸2作为圆面积的近似值。将这个近似值与半径1尺代入公式（2-1），求出圆周长的近似值6尺2寸8分。将圆的直径与周长相约，便得到圆周率十分明显，刘徽的割圆术，其主旨是证明《九章算术》的圆面积公式（2-1）。他求圆周率的方法，是以被他首先证明了的圆面积公式（2-1）为前提的。刘徽在证明公式（2-1）时用到了极限思想与无穷小分割方法，而在求圆周率时，并未用到极限思想和无穷小分割，只是极限思想在近似计算中的应用。刘徽的整个圆田术注，论点明确，论据充分，逻辑清晰，没有任何费解之处。
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2．刘徽原理和刘徽的多面体体积理论
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刘徽用极限思想和无穷小分割方法对刘徽原理的证明更加高明。一个长方体沿相对两棱剖开，就得到两个堑堵。将一个堑堵（如图2.8（c）所示）沿某个顶点到相对棱剖开，就得到一个阳马（如图2.8（a）所示），一个鳖腝（如图2.8（b）所示）。显然，阳马是直角四棱锥，鳖腝是四面皆为勾股形的四面体。《九章算术》给出了阳马的体积公式：
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又给出了鳖腝的体积公式：
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刘徽认识到，用传统的出入相补方法无法严格证明上述两个体积公式。他只好另辟蹊径。刘徽首先提出了一个重要原理：
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邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝。阳马居二，鳖腝居一，不易之率也。
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即在一个堑堵中，恒有
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吴文俊把它称为刘徽原理。显然，只要证明了刘徽原理，由于堑堵的体积公式，则（2-3），（2-4）两式是不言而喻的。
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刘徽用无穷小分割方法和极限思想证明了（2-5）式，如图2.9所示。他说：
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设为阳马为分内，鳖腝为分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。其使鳖腝广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖腝，则一阳马也。其余两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之称少，其余称细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？