1701097824
1701097825
1701097826
刘徽由计算得出因此取314寸2作为圆面积的近似值。将这个近似值与半径1尺代入公式（2-1），求出圆周长的近似值6尺2寸8分。将圆的直径与周长相约，便得到圆周率十分明显，刘徽的割圆术，其主旨是证明《九章算术》的圆面积公式（2-1）。他求圆周率的方法，是以被他首先证明了的圆面积公式（2-1）为前提的。刘徽在证明公式（2-1）时用到了极限思想与无穷小分割方法，而在求圆周率时，并未用到极限思想和无穷小分割，只是极限思想在近似计算中的应用。刘徽的整个圆田术注，论点明确，论据充分，逻辑清晰，没有任何费解之处。
1701097827
1701097828
2．刘徽原理和刘徽的多面体体积理论
1701097829
1701097830
刘徽用极限思想和无穷小分割方法对刘徽原理的证明更加高明。一个长方体沿相对两棱剖开，就得到两个堑堵。将一个堑堵（如图2.8（c）所示）沿某个顶点到相对棱剖开，就得到一个阳马（如图2.8（a）所示），一个鳖腝（如图2.8（b）所示）。显然，阳马是直角四棱锥，鳖腝是四面皆为勾股形的四面体。《九章算术》给出了阳马的体积公式：
1701097831
1701097832
1701097833
1701097834
1701097835
又给出了鳖腝的体积公式：
1701097836
1701097837
1701097838
1701097839
1701097840
1701097841
1701097842
1701097843
刘徽认识到，用传统的出入相补方法无法严格证明上述两个体积公式。他只好另辟蹊径。刘徽首先提出了一个重要原理：
1701097844
1701097845
邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝。阳马居二，鳖腝居一，不易之率也。
1701097846
1701097847
即在一个堑堵中，恒有
1701097848
1701097849
1701097850
1701097851
1701097852
1701097853
吴文俊把它称为刘徽原理。显然，只要证明了刘徽原理，由于堑堵的体积公式，则（2-3），（2-4）两式是不言而喻的。
1701097854
1701097855
刘徽用无穷小分割方法和极限思想证明了（2-5）式，如图2.9所示。他说：
1701097856
1701097857
1701097858
1701097859
1701097860
设为阳马为分内，鳖腝为分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。其使鳖腝广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖腝，则一阳马也。其余两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之称少，其余称细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？
1701097861
1701097862
1701097863
1701097864
1701097865
1701097866
1701097867
1701097868
刘徽用三个互相垂直的平面分别平分由阳马与鳖腝拼合而成的堑堵的长、宽、高，如图2.8（c）所示；那么，其中的阳马被分割成一个小长方体Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ，两个小阳马Ⅳ、Ⅴ，如图2.8（a）所示，鳖腝被分割成两个小堑堵Ⅱ′、Ⅲ′，两个小鳖腝Ⅳ′、Ⅴ′，如图2.8（b）所示。显然，小堑堵Ⅱ与Ⅱ′、Ⅲ与Ⅲ′可以分别拼合成与Ⅰ全等的小长方体。小阳马Ⅳ与小鳖腝Ⅳ′，小阳马Ⅴ与小鳖腝Ⅴ′可以分别拼合成两个与小堑堵Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ′、Ⅲ′全等的小堑堵，它们又可以拼合成与Ⅰ全等的第4个小长方体。那么，在前三个小长方体Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ′、Ⅲ-Ⅲ′中，属于阳马的和属于鳖腝的体积之比是2∶1，即在原堑堵的中（2-5）式成立。而在第4个小长方体中（2-5）式是否成立还未知。然而，第4个小长方体中的两个小堑堵与原堑堵完全相似，因此，上述分割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，那么又可以证明在其中的中（2-5）式成立，在其中的中尚未知，亦即在原堑堵的中尚未知。这个过程可以无限继续下去，第n次分割后只剩原堑堵的中（2-5）式是否成立尚未知。显然，这就在整个堑堵中证明了（2-5）式，即刘徽原理成立。
1701097869
1701097870
1701097871
1701097872
1701097873
刘徽原理是其多面体体积理论的基础。刘徽说：