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刘徽原理是其多面体体积理论的基础。刘徽说：
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不有鳖腝，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。
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刘徽认为，鳖腝是刘徽解决多面体体积问题的关键。刘徽为求方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体的体积，都要通过有限次分割，将其分割成长方体、堑堵、阳马、鳖腝等已被证明了体积公式的立体，然后求其体积之和解决之。
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刘徽通过刘徽原理把多面体体积理论建立在无穷小分割基础上这种思想，与现代数学的体积理论惊人的一致。近代数学大师高斯提出了多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不可能的猜想。以这个猜想为基础，希尔伯特在1900年提出了《数学问题》中的第3个问题。不久，希尔伯特的学生德恩给了肯定的答复。刘徽在公元三世纪就开始考虑19、20世纪数学大师们所考虑的问题。
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3．截面积原理
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《九章算术》是通过比较其底面积由体积已知的方体推知相应的圆体体积的。刘徽则更进了一步，他说：“上连无成不方，故方锥与阳马同实。”就是说，同底等高的方锥与阳马的每一层都是相等的方形，所以他们的体积相同。如图2.11所示。可见，刘徽实际上已经认识了祖暅之原理：“缘幂势既同，则积不容异。”此即后来西方的卡瓦列利原理。正因为如此，刘徽认识到《九章算术》开立圆术是错误的，设计了牟合方盖，如图2.12所示，为祖冲之父子指出了解决球体积的正确途经。
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（四）刘徽的逻辑思想和数学理论体系
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1．刘徽的定义
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刘徽继承了《墨经》给概念以定义的传统，给出了许多数学概念的严格定义。如关于“方程”即线性方程组的定义：
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程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列列行，故谓之方程。
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这是发生性定义。
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值得指出的是，刘徽的定义一经给出，一般说来便在整个《九章算术注》中保持着同一性。
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2．刘徽的演绎逻辑
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刘徽不仅使用了形式逻辑，而且主要使用了演绎推理。演绎推理的几种主要形式，刘徽几乎全都使用了。
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盈不足术刘徽注针对两次假设有分数的情况说：
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注云若两设有分者，齐其子，同其母。此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。
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就是说，如果两次假设有分数（M），须使分子相齐，分母相同（P）。这个问题（S）中两次假设都有分数（M），故这个问题（S）须使分子相齐，分母相同（P）。这个推理完全符合三段论的规则：
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大前提 M——P （A）
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小前提 S——M （A）
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结 论 S——P （A）
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其推理方式是AAA式。
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刘徽更多地使用关系推理。这是三段论的一种特殊情形。《九章算术》使用了错误的球体积公式其推导方式是：正方体与内切圆柱体的体积之比为4∶3，圆柱体与内切球的体积之比也是4∶3，故正方体与内切球的体积之比为16∶9。刘徽认为这是错误的，他用两个圆柱体正交，其公共部分称作牟合方盖：
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