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刘徽继承了《墨经》给概念以定义的传统，给出了许多数学概念的严格定义。如关于“方程”即线性方程组的定义：
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程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列列行，故谓之方程。
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这是发生性定义。
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值得指出的是，刘徽的定义一经给出，一般说来便在整个《九章算术注》中保持着同一性。
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2．刘徽的演绎逻辑
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刘徽不仅使用了形式逻辑，而且主要使用了演绎推理。演绎推理的几种主要形式，刘徽几乎全都使用了。
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盈不足术刘徽注针对两次假设有分数的情况说：
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注云若两设有分者，齐其子，同其母。此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。
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就是说，如果两次假设有分数（M），须使分子相齐，分母相同（P）。这个问题（S）中两次假设都有分数（M），故这个问题（S）须使分子相齐，分母相同（P）。这个推理完全符合三段论的规则：
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大前提 M——P （A）
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小前提 S——M （A）
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结 论 S——P （A）
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其推理方式是AAA式。
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刘徽更多地使用关系推理。这是三段论的一种特殊情形。《九章算术》使用了错误的球体积公式其推导方式是：正方体与内切圆柱体的体积之比为4∶3，圆柱体与内切球的体积之比也是4∶3，故正方体与内切球的体积之比为16∶9。刘徽认为这是错误的，他用两个圆柱体正交，其公共部分称作牟合方盖：
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按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？
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其推理方式是：
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牟合方盖：球＝4∶π
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圆柱：球≠牟合方盖：球
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故 圆柱：球≠4∶π
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这就从根本上推翻了《九章算术》的公式。刘徽没有能求出牟合方盖的体积，他表示：“欲陋形措意，惧失正理。敢不厥疑，以俟能言者。”表现了一个学者实事求是，寄希望于未来的远大胸怀。
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3．刘徽的数学理论体系
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早在1700多年前，刘徽就有了数学之树的思想，他说：
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事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。
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刘徽的这株数学之树发自一端。这个端是什么呢？刘徽说：
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