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15岁前后，奇妙的数学紧紧地扣住了彭加勒的心弦，他曾在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学大奖，1875年底，彭加勒进入综合工科学校深造。1875年，他到国立高等矿业学校学习，打算做一名工程师，但一有闲空就钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒。1878年，他向法国科学院提交了关于这个课题的“异乎寻常”的论文，并于翌年8月1日得到数学博士学位。由于工程师的职业与他的志趣不相投，他又想做一个职业数学家。在得到博士学位后不久（1879年12月1日），他应聘到卡昂大学任数学分析教师。两年后，他被提升为巴黎大学教授，讲授数学、力学和实验物理学等课程。除了在欧洲参加学术会议和1904年应邀到美国圣路易斯科学和技艺博览会讲演外，彭加勒一生的其余时间都是在巴黎度过的。
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彭加勒的写作时期开始于1878年，直至他1912年逝世——这正是他创造力的极盛时期。在不长的34年科学生涯中，他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支，这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内。由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏。早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士。这是法国科学家所能得到的最高荣誉。
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数 学
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彭加勒被认为是19世纪最后四分之一和20世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师。他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都朔源于他的工作。
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1．函数论。如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪。彭加勒是因为发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角。
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所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色。
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自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z’＝（az＋b）／（cz＋d）或这个群的某些子群作用下的不变函数，其中a，b，c，d可以是实数或复数，而且ad·bc＝1。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。更一般的自守函数则是为研究二阶线性微分方程d2η／dz2＋p1·dη／dz＋p2η＝0而引进的，其中p1和p2起初是z的有理函数。
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1880年以前，克莱因（F. Klein）在自守函数方面作了一些基本的工作，后来他在1881年至1882年与彭加勒合作。彭加勒在受到富克斯（L. L. Fuchs）有关工作的吸引而注意到这件事后，对这个课题已作了先行的工作。他以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数，即他所谓的富克斯函数，这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数。后来，彭加勒把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，彭加勒得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，彭加勒把它叫做克莱因函数。这些函数有类似于富克斯型函数的性质，但基本域比圆要复杂。此后，彭加勒指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。这样，整个这类线性微分方程都可以用彭加勒的这些新的超越函数来解了。
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自守函数理论只是彭加勒对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广的理论的出发点。他在1883年的一篇短文中，首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡（E. Picard）定理结合在一起，通过阿达玛（J. Hadamard）和波莱尔（E. Borel）的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，这个理论在80年之后仍然尚未研究完。
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自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。彭加勒给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理函数的级数，这导致后来被波莱尔和当儒瓦（A. Denjoy）所提出的单演函数理论。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使彭加勒在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。
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尤其是，彭加勒是多复变解析函数的创始人，这个理论在他之前实际并不存在。他得到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商。在1898年，他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中加以应用。他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽。彭加勒也对多复变函数的重积分的“残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题做了多次尝试而揭示出严重困难之后进行的。多年后，他的思想在勒雷（J. Leray）的工作中产生了完满的结果。
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2．代数拓扑学（组合拓扑学）。彭加勒最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人。可以毫不夸张地说，彭加勒在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽。
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彭加勒先在1892年和1893年的科学院《通报》（Comptes Rendus）中发表了一些短文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的。彭加勒认为，他在代数拓扑学方面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如说是研究n维几何的一种系统方法。我们现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是彭加勒的发明创造：其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂（E. Betti）数的方法。藉助这些方法，彭加勒发现欧拉多面体定理的推广（现在称之为欧拉-彭加勒公式）以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的概念。在这些论文中，他还定义了基本群（第一个同伦群），并证明它与一维贝蒂数的关系，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，叙述了德拉姆（G. de Rham）直到1931年才证明了的定理。有人这样正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于彭加勒的思想和方法。
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此外，彭加勒还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题。在两篇论文中，他给出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2＝F（x，y）（F是多项式）的方程定义的曲面的基本群，从而为后来莱夫谢茨（S. Lefschetz）和霍奇（W. V. D. Hodvge）的推广铺平了道路。
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3．阿贝尔函数和代数几何学。当彭加勒一接触到黎曼（G. F. B. Riemann）和魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass）关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域发生了浓厚的兴趣。他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差不多，时间是从1881年到1911年，这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化”。彭加勒把J. 雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般的“完全可约性定理”。并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结果和研究某些函数特殊性质的出发点。
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彭加勒在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F（x，y，z）＝0中所包含的代数曲线的几篇论文。他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和塞韦里（F. Severi）的深刻结果，并首次正确地证明了由卡斯特尔诺沃（G. Castelnuovo）、恩里格斯（F. Enriques）所陈述的著名定理。在其他问题上，他的方法也极有价值，看来它的有效性还远远没有穷尽。
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4．数论。在这个领域，彭加勒首次给出整系数型的亏格的一般定义。他的最后一篇数论论文（1901）最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇论文。这篇论文的主题是丢番图（Diophantus）问题，即求一条曲线f（x，y）＝0上具有有理数坐标的点，其中f的系数是有理数。彭加勒定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有限的。这个基本事实由莫德尔（L. J. Mardell）在1922年予以证明，并由韦伊（A. Weil）推广到任意亏格的曲线（1929）。他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆（或阿贝尔）函数的半分性质；彭加勒在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点。莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为基本的定理，但是与彭加勒引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地钻研他的论文也许会导出新的结果。
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5．代数学。彭加勒从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分析问题中需要代数结果时才去研究它。例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数≥3的型，其上作用着连续自同构群。与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起施图迪（E. Study）和嘉当（E. Cartan）关于超复系的文章。彭加勒在1903年关于线性微分方程的代数积分的文章又回到交换代数的研究上来。他的方法使他引进一个方程的群代数，并把它分解为C上的单代数（即方阵代数）。他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和。
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彭加勒是当时能够理解并欣赏李（S. Lie）及其后继者关于“连续群”工作的少数数学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家。1899年，彭加勒对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔（Campbeel）-豪斯多夫（Hausdorff）公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的（复数域上的）李代数的“包络代数”，并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述，这个定理在近代李代数理论中成为基本的定理。
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6．微分方程。微分方程及其在动力学上的应用显然处于彭加勒数学思想的中心地位，他从各种可能的角度研究这个问题，他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中。几乎每年都要就此发表论文。事实上，整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系数的线性微分方程的思想引起的。他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇点的邻域中的局部问题，首次证明了怎样得到积分渐进展开。他还研究了如何决定（复数域中）所有一阶微分方程关于y和y’是代数的且有固点的奇点，这后来被皮卡推广到二阶方程，并在20世纪初期导致潘勒韦（P. Painlev）及其学派的成果。
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彭加勒在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论，它是在其创造者手中立即臻于完善的。他发现在分析微分方程可能解的类型时，奇点起着关键性的作用。他把奇点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心，并阐述了解在这些点附近的性态。在1885年后，他关于微分方程的论文大都涉及天体力学，特别是三体问题。
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对于物理学问题的持久兴趣肯定把彭加勒引向数学物理学的偏微分方程所导出的数学问题，在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义。他在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷（Diichlet）问题，发明了“扫散方法”，这种极其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用。
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此外，彭加勒还在非欧几何、渐近级数、概率论（例如，他最先使用了“遍历性”的概念，这成为统计力学的基础）等数学分支中也有所建树。
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物 理 学
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彭加勒讲授物理学达20年以上，发表文章和出版书籍70多种，涉及毛细管理论、弹性力学、流体力学、热的传播、势论、光学、电学、磁学、电子动力学等等。他能深刻地洞察每个课题，并揭示其本质。他特别偏好光理论和电磁理论，他的关于电磁理论的教科书成为麦克斯韦理论在欧洲大陆得以广泛传播的范本。
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