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物 理 学
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彭加勒讲授物理学达20年以上，发表文章和出版书籍70多种，涉及毛细管理论、弹性力学、流体力学、热的传播、势论、光学、电学、磁学、电子动力学等等。他能深刻地洞察每个课题，并揭示其本质。他特别偏好光理论和电磁理论，他的关于电磁理论的教科书成为麦克斯韦理论在欧洲大陆得以广泛传播的范本。
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尤为引人注目的是，彭加勒对19世纪末20世纪初的物理学革命直接起到了推动作用。这主要表现在以下四个方面。
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1．对经典力学和经典物理学基础的批判以及对物理学危机的分析和论述
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在世纪之交，彭加勒属于批判学派（与之对立的是机械学派，即力学学派）。在马赫（E. Mach）、卡利努（A. Calinon）、赫兹（H. R. Hertz）的影响下，他对经典力学的基本概念和基本原理（例如绝对时间和绝对空间、力、惯性定律、加速度定律等）进行了批判，也对当时占统治地位的力学自然观提出质疑。他指出，力学自然观实际上是想把自然界弯曲成某种形式，但是自然界并不是这么柔顺的。彭加勒在分析了力学解释的非普遍性和非唯一性后指出，我们追求的目标“不是机械论，真正的、唯一的目标是统一性”。与马赫不同的是，彭加勒还审查和批判了经典物理学的基础，并揭示出经典力学和经典物理学之间无法弥合的裂痕。
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在实验事实和理论分析的冲击下，整个物理学的理论基础动摇了，导致了所谓的物理学危机。老一辈的物理学家囿于力学自然观，看不清物理学发展的形势，只是在旧理论的框架内进行修补，找不到摆脱危机的出路。在当时著名的科学家当中，对物理学发展形势看得比较清楚的是彭加勒，他在20世纪初第一个明确地指出物理学的危机，并对它进行了全面的分析和论述。他认为，物理学危机是好事而不是坏事，危机能加速物理学的变革，是物理学进入新阶段的前兆。他指出，要摆脱危机，就要在新实验事实的基础上重新改造物理学。同时，他一再肯定经典理论的固有价值，认为它们在有效适用范围内还是大有用处的，并且旗帜鲜明地批评了“科学破产”之类的错误观点。他还预见了新力学的大致图景，对物理学的前途表示乐观。这一切，对于澄清物理学家的糊涂认识，使他们看清物理学发展的形势，显然是大有裨益的，也有助于抵制当时流行的实用主义和非理性主义。
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2．在物质结构研究方面的贡献
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1895年12月28日，伦琴（W. K. Röntgen）发现了X射线。彭加勒对此感到十分振奋，他在1896年1月20日的周会上展示了伦琴寄给他的X射线照片。当贝可勒尔（A. H. Becquerel）问他射线从管子的哪一部分发出时，彭加勒回答说，射线似乎是从管子中与阴极相对的区域发出的，在这个区域内玻璃管变得发荧光了。彭加勒还在1月30日发表了一篇关于X射线的论文，他在论文中提出：“是否所有荧光足够强的物体，不管它们的荧光的起因如何，都既发射可见光又发射X射线呢？”尽管彭加勒的预想并不完全正确，但是它毕竟是导致贝可勒尔发现放射性的直接动因。
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对于世纪之交分子实在性的争论，彭加勒基本持中立态度，因为当时还没有确凿的实验事实证明分子是真实的。不过，他早就意识到用实验来验证分子运动论的可能性。他在1900年提醒大家注意古伊（L. G. Gouy）关于布朗运动的有独创性的观念。他指出：“那些无规则运动的粒子比致密的网孔还要小；因此，它们可能适用于解开那团乱麻，从而使世界逆行。我们几乎能够看到麦克斯韦妖作怪呢。”1904年，他在提到运动和热在布朗运动中相互转化而毫无损失时说：“如果情况如此，为了观察世界逆行，我们不再需要麦克斯韦妖的无限敏锐的眼睛，我们的显微镜就足够了。”后来，爱因斯坦（A. Einstein）和斯莫卢霍夫斯基（M. von Smoluehowski）分别于1905年和1906年给出了布朗运动的理论，导出了计算分子大小的公式。1908年，佩兰（J. B. Perrin）和他的合作者通过用显微镜观察藤黄树脂微粒的布朗运动，证实了分子的实在性。彭加勒面对这一事实，坦率地承认：“长期存在的原子假设已具有充分的可靠性”，“化学家的原子现在已经是一种实在了”。
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3．相对论的先驱
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早在1900年之前，彭加勒就掌握了建立狭义相对论的一切必要材料，并在1904～1905年间找到了它的数学表示。作为相对论的先驱，他比马赫和洛伦兹（H. A. Lorentz）更前进了一步。
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在1895年，彭加勒就对当时以太漂移实验的解释表示不满，他批评洛伦兹过多地引入特设假设。他相信，用任何实验手段——力学的、光学的、电学的——都不可能检测到地球的绝对运动。他已经意识到，采取这种立场相当于在理论上提出一个普遍的物理定律：“不可能测出有重物质的绝对运动，或者更明确地说，不可能测出有重物质相对于以太的运动。人们所能提供的一切就是有重物质相对于有重物质的运动。”1900年，他把这个定律称为“相对运动原理”——“任何系统的运动必须服从同样的定律，不管它是相对于固定轴而言还是相对于做匀速直线运动的可动轴而言。”在1902年的《科学与假设》中，首次出现了“相对性原理”的提法。不过，相对性原理的正式提出和标准表述是彭加勒1904年9月在美国圣路易斯讲演中做出的。他把它作为物理学六大基本原理之一提了出来：“相对性原理，根据这个原理，物理现象的定律应该是相同的，不管观察者处于静止还是处于匀速直线运动。于是，我们没有、也不可能有任何手段来辨别我们是否做这样一种运动。”也就是在这次讲演中，他惊人地预见了新力学的大致图景：惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限。原来的比较简单的力学依然保持为一级近似，因为它对不太大的速度还是正确的，以致在新力学中还能够发现旧力学。
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在1898年的“时间的测量”（La mésure de temps）一文中，彭加勒不仅批判了绝对时间、绝对空间和绝对同时性的概念，而且还提出了建设性的建议：承认光速不变是一个公设，并用爱因斯坦后来使用的术语讨论了远距离的同时性的确定问题。他说：“（光具有变的速度，尤其是它的速度在一切方向上都是相同的，）这是一个公设，没有这个公设，就无法测量光速。”彭加勒利用两个观察者（爱因斯坦的讨论只用一个观察者）、光讯号和时钟，讨论了时钟同步和同时性的定义问题，得出了与爱因斯坦1905年的结论相同的结果。
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1904年后期到1905年中期，彭加勒给洛伦兹写了三封信，这三封信的基本思想在“论电子动力学”（Sur la dynamique de iélectron）一文中得到发展。这篇论文的缩写本于1905年6月5日发表，全文则发表于1906年。他在文中第一个提出了精确的洛伦兹变换，指出该变换的群的性质。“洛伦兹变换”、“洛伦兹群”、“洛伦兹不变量”等术语，都是他首先使用的。他还得到了正确的电荷和电流密度的变换（洛伦兹得出的变换式是错的），证明了速度变换，考虑了体积元的变换，得到了电荷密度和电流的变换。这样一来，麦克斯韦-洛伦兹方程首次在洛伦兹变换下严格地变成不变量。彭加勒还导出了电磁标量势和矢量势、单位体积的力、单位电荷的力的变换，这些公式甚至在1960年代前后的文献中也难以找到。尤其是，彭加勒为了利用在具有确定的正度规x2＋y2＋z2＋τ2的四维空间中的不变量理论，还引入了四维矢量，使用了虚时间坐标（τ＝ict）。他还揭示出洛伦兹变换恰恰是四维空间绕原点的转动。彭加勒的这一工作，对闵可夫斯基（H. Minkowski）后来的四维时空表示法有直接影响。彭加勒也是第一个在他的电子动力学中研究牛顿引力定律的人，他甚至使用了“引力波”这个词。
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4．量子论的积极倡导者和热心研究者
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1911年的索尔维物理学会议，使量子论越出了德语国家的国界。彭加勒应邀参加了这次最高级会议，首次了解到量子论。他在很短时间内就成为量子论的积极倡导者和热心研究者，他在逝世前的半年多时间内，完全沉浸在这个奇妙的量子世界里。
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1911年12月4日，即索尔维会议一个月之后，彭加勒向科学院提交了一篇论述量子论的长篇论文的缩写本，全文于翌年1月发表。他在论文中指出，量子论的出现“无疑是自牛顿（I. Newton）以来自然哲学所经历的最伟大、最深远的革命”。他坚持认为，旧理论不只是在能量能够连续变化的假定上是错误的，而且物理定律本性的概念也要经受根本的变革。他在论文的最后指出，人们必须寻求差分方程，对于不连续的几率函数的情况，它将起哈密顿微分方程的作用。后来，他还就量子论发表了几篇文章和讲演。他甚至猜想，任何孤立系统乃至宇宙也像粒子一样，“会突然地从一个状态跃迁到另一个状态；但是在间歇期间，它依然是不动的。宇宙保持同一状态的各个瞬时不再能够相互区分开来。因此，这将导致时间的不连续变化，即时间原子。”彭加勒的工作大大推动了非德语国家的物理学家接受和研究量子论。
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5．混沌学的开创人
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彭加勒在把他锻造的锐利数学武器用于进攻天体力学问题时，发现了混沌现象。在太阳系的稳定性即三体问题的研究中，他实际上已经意识到，在一向视为由决定论统治的牛顿力学中，随机性（偶然性）也比比皆是。随机性是牛顿方程的本质特性之一，因为运动对初始条件十分敏感，确定行为是极其稀少的。这与混沌就是决定论系统的内在随机性的现代认识何其相近！事实上，彭加勒开创和发明的种种新数学分支和方法，以及他的众多的天体力学著作，都成为现代混沌学的思想和方法的启迪源泉。彭加勒不愧是发现混沌现象并进行认真处理的第一人。
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积极的哲学思维和敏锐的直觉能力，也使彭加勒从自然哲学的高度洞见混沌现象。彭加勒反对或不赞成机械决定论，而承认自然界的偶然性，认为偶然性这个词具有“精密的和客观的意义”。它在《科学与方法》中专用一章讨论偶然性问题，并把偶然性分为三类，其中之一超出了概率思想的水平，讲出了混沌的真谛。他说：“我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著的结果，可是我们却说这个结果是由于偶然性。……初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的极大误差。预言变得不可能了，我们有的是偶然发生的现象。”彭加勒在这里对着类偶然性所做的描述，正是今天混沌研究者刻画混沌特征的典型用语。彭加勒的先知先觉和先见之明由此可见一斑。在当今的混沌学研究文献中，经常可以看到对彭加勒的引用，不时可以觉察到彭加勒科学思想的强大生命力的自然延伸。
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天 文 学
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在19世纪之前，天文学家在处理天体力学问题时还是沿用牛顿、欧拉（L. Euler）、拉格朗日（J. L. Lagrange）和拉普拉斯（P. S. M. Laplace）的方法。19世纪，柯西（A. L. Cauchy）发展了复变函数论，数学家为天文学家提供了有利的工具。彭加勒首先运用分析学的方法来研究天文学，而直至40年后，还没有几个天文学家能够掌握这种数学工具。彭加勒的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状（1885）；太阳系的稳定性，即n体问题（1899）；太阳系的起源（1911）。
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彭加勒在1885年发表的长篇论文中讨论了由雅可比椭球体派生出来的、角动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。他认为，这种体系演化的下一个阶段可能是一大一小相互围绕着旋转的两个天体的平衡状态，该假设肯定不能用于太阳系，但某些双星却会呈现出这样的过渡形式。后来有人证明梨形是不稳定的。
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彭加勒在天体力学上的最大成功表现在对“n体问题”的处理上，这是瑞典国王奥斯卡二世（Oscar Ⅱ）在1887年提出的悬赏问题。设n个质点以任意方式分布在空间中，所有质点的质量、初始运动和相互距离在给定的时刻都是已知的。如果它们之间按照牛顿万有引力定律相吸引，那么在任何时刻，它们的位置和运动怎样呢？
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“二体问题”已被牛顿解决了。自欧拉以来，人们把“三体问题”视为整个数学领域最困难的问题之一。从数学上讲，该问题归结为解九个联立微分方程（每个都是二阶线性的）。拉格朗日成功地把这个问题加以简化，可是其解即使存在，也不能用有限项来表示，而是一个无穷级数。如果级数在形式上满足方程组，并且对于变数的某些值收敛，那么解将存在。彭加勒在他1889年的论文中提出了一种新的强有力的技巧，其中包括渐近展开和积分不变性，并且对微分方程在接近奇点附近的积分曲线性状获得重要的发现，尽管他没有解决n体问题，但对三体问题已有明显的突破，因此获得了奥斯卡奖。
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