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(γ＋1)＋1＝(1＋γ)＋1＝1＋(γ＋1)；
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现在该定理对a＝1为真，因而它对a＝2，a＝3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。
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2°我说
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a＋b＝b＋a．
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该定理刚才针对b＝1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β＋1亦为真。
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因此，该命题通过递归而成立。
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乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法：
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像等式（1）一样，等式（2）包含着无穷个定义；只要定义了a×1，就能使我们相继定义a×2，a×3等等。
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乘法的特性——分配性。我说
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(a＋b)×c＝(a×c)+(b×c)．
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我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ＋1亦为真。
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因此，该命题通过递归而证明。
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交换性。1°我说
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a×1＝1×a．
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该定理对a＝1而言是显而易见的。
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我们用分析验证，若该定理对a＝a为真，则它对a＝a＋1亦为真。
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2°我说
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a×b＝b×a．
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该定理对于b＝1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β＋1亦为真。
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Ⅳ
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我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
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这种程序就是递归证明。我们首先针对n＝1规定一个定理；然后我们证明，若该定理对n－1为真，则对n也为真，从而得出结论：它对所有的整数都为真。
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我们刚才看到，如何可以用递归来证明加法法则和乘法法则，也就是代数计算法则；这种计算是变换的工具，它有助于形成更多的各种不同的组合，远非简单的三段论所能相比；但是，它依然是纯粹分析的工具，不能告诉我们任何新东西。如果数学没有其他工具，它就会因之即刻阻碍自己的发展；但是，它重新求助于同一程序，即求助于递归推理，从而它能够继续前进。
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