1701105429
1701105430
我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ＋1亦为真。
1701105431
1701105432
因此，该命题通过递归而证明。
1701105433
1701105434
交换性。1°我说
1701105435
1701105436
a×1＝1×a．
1701105437
1701105438
该定理对a＝1而言是显而易见的。
1701105439
1701105440
我们用分析验证，若该定理对a＝a为真，则它对a＝a＋1亦为真。
1701105441
1701105442
2°我说
1701105443
1701105444
a×b＝b×a．
1701105445
1701105446
该定理对于b＝1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β＋1亦为真。
1701105447
1701105448
Ⅳ
1701105449
1701105450
我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
1701105451
1701105452
这种程序就是递归证明。我们首先针对n＝1规定一个定理；然后我们证明，若该定理对n－1为真，则对n也为真，从而得出结论：它对所有的整数都为真。
1701105453
1701105454
我们刚才看到，如何可以用递归来证明加法法则和乘法法则，也就是代数计算法则；这种计算是变换的工具，它有助于形成更多的各种不同的组合，远非简单的三段论所能相比；但是，它依然是纯粹分析的工具，不能告诉我们任何新东西。如果数学没有其他工具，它就会因之即刻阻碍自己的发展；但是，它重新求助于同一程序，即求助于递归推理，从而它能够继续前进。
1701105455
1701105456
如果我们密切注视一下，我们在每一步都会再次遇到这种推理方式，它或者是以我们刚才给予它的简单形式出现的，或者是以或多或少修正了的形式出现的。
1701105457
1701105458
于是，我们在这里有了典型的数学推理，我们必须更为仔细地审查它。
1701105459
1701105460
Ⅴ
1701105461
1701105462
递归推理的主要特征是，它包括无穷个三段论，可以说它浓缩在单一的公式中。
1701105463
1701105464
为了更清楚地看到这一点，我想依次陈述这些三段论，如果你容许我形容一下的话，它们就好像“多级瀑布”一样直泻而下。
1701105465
1701105466
这些当然是假设的三段论。
1701105467
1701105468
定理对数1为真。
1701105469
1701105470
现在，若它对1为真，则它对2亦为真。
1701105471
1701105472
故它对2为真。
1701105473
1701105474
现在，若它对2为真，则它对3亦为真。
1701105475
1701105476
故它对3为真，如此等等。
1701105477
1701105478
我们看到，每一个三段论的结论都是下一个三段论的小前提。
[
上一页 ]
[ :1.701105429e+09 ]
[
下一页 ]