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Ⅳ
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我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是，正是这种单调的东西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
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这种程序就是递归证明。我们首先针对n＝1规定一个定理；然后我们证明，若该定理对n－1为真，则对n也为真，从而得出结论：它对所有的整数都为真。
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我们刚才看到，如何可以用递归来证明加法法则和乘法法则，也就是代数计算法则；这种计算是变换的工具，它有助于形成更多的各种不同的组合，远非简单的三段论所能相比；但是，它依然是纯粹分析的工具，不能告诉我们任何新东西。如果数学没有其他工具，它就会因之即刻阻碍自己的发展；但是，它重新求助于同一程序，即求助于递归推理，从而它能够继续前进。
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如果我们密切注视一下，我们在每一步都会再次遇到这种推理方式，它或者是以我们刚才给予它的简单形式出现的，或者是以或多或少修正了的形式出现的。
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于是，我们在这里有了典型的数学推理，我们必须更为仔细地审查它。
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Ⅴ
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递归推理的主要特征是，它包括无穷个三段论，可以说它浓缩在单一的公式中。
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为了更清楚地看到这一点，我想依次陈述这些三段论，如果你容许我形容一下的话，它们就好像“多级瀑布”一样直泻而下。
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这些当然是假设的三段论。
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定理对数1为真。
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现在，若它对1为真，则它对2亦为真。
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故它对2为真。
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现在，若它对2为真，则它对3亦为真。
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故它对3为真，如此等等。
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我们看到，每一个三段论的结论都是下一个三段论的小前提。
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而且，我们的所有三段论的大前提都能简化为单一的公式。
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若定理对n－1为真，则它对n亦为真。
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其次，我们看到，在递归推理中，我们仅限于陈述第一个三段论的小前提和把所有大前提作为特例包括进来的普遍公式。
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从而，这一连串永无休止的三段论就简化为几行短语。
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正如我上面已经说明的，现在很容易理解一个定理的每一个特定推论都能够用纯粹分析的程度来核验。
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如果我们不去证明我们的定理对于所有数为真，例如我们只希望证明它对6这个数为真，那么建立我们的多级瀑布的头五个三段论对我们来说就足够了；如果我们想针对数10证明该定理，那么只需要9个三段论；数越大，需要的三段论也就越多；然而，不管这个数多么大，我们总能达到目的，从而分析核验是可能的。
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可是，无论我们走得多么远，我们也无法上升到对于一切数都适用的普遍定理，而唯有普遍的定理，才是科学的目标。欲达此目的，需要无穷个三段论；这就必须跨越只局限于形式逻辑方法的分析家的忍耐力永远也无法填满的深渊。
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起初我曾问过，人们为什么不想象出一个神通广大的心智，一眼就洞察到整个数学真理的本质。
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现在很容易回答了；棋手能够预料四五步棋，不管他多么非凡，他也只能准备有限步棋；假使他把他的本领用于算术，他也不能凭借单一的直接直觉察觉算术的普遍真理；为了获得最微小的定理，他也不得不借助递归推理，因为这是能使我们从有限通向无限的工具。
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