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在算术这个领域，我们可以认为我们自己距微积分十分遥远，然而，正如我们刚刚看到的，数学无限的观念已经起着举足轻重的作用，没有它便没有科学，因为在那里没有普遍的东西。
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Ⅵ
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递归推理所依据的判断能够处于其他形式之下；例如，我们可以说，在不同整数的无限个集合中，总存在着一个比所有其他数都小的数。
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我们能够很容易地从一个阐述推到另一个阐述，由此便产生已经证明过递归推理的合法性的幻觉。但是，我们总会受到阻碍，我们总会达到不可证明的公理，而这个公理实际上只不过是有待证明的、翻译成另一种语言的命题罢了。
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因此，我们无法摆脱这样一个结论：递归推理的法则不能划归为矛盾律。
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对我们来说，这个法则也不能来自经验；经验能够告诉我们，该法则对头十个数或头一百个数为真；例如，它不能到达无限系列的数，而只能到达这个系列的一部分，不管该部分或长或短，但总是有限的。
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现在，假若只是那样一个问题，则矛盾律也就足够了；它总会容许我们展开像我们所希望的那么多的三段论；只有在把无限个三段论包括在单一的公式中时，只有在无限面前时，矛盾律才会失效，也就是在那里，经验变得软弱无力。这个法则是分析证明和经验难以得到的，它是先验综合判断的真正类型。另一方面，我们也不能企图在它之内像在几何学的某些公设中那样看见约定。
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可是，这种判断为什么以不可遏止之势迫使我们服从呢？那是因为，它只是证实了心智的威力，心智知道，它本身能够想象得出，只要这种行为一次是可能的，同样的行为就可以无限期地重复下去。心智对这种威力有一种直接的直觉，而经验只不过是为利用它、并进而变得意识到它提供机会。
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但是，有人会问，如果未加工的经验不能证明递归推理的合法性，那么借助于归纳的实验也是这样吗？我们陆续看到，一个定理对1，2，3等数为真；我们说，这个规律是明显的，它像每一个基于为数很多、但却是有限的观察的物理学定律一样，有着相同的根据。
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必须承认，在这里存在着与通常的归纳程序酷似之处。不过，也有本质的差别。用于物理科学中的归纳总是不确定的，因为它建立在宇宙具有普遍秩序的信念上，而这种秩序却是在我们之外的。相反地，数学归纳法即递归证明却必然地强加于我们，因为它只不过是心智本身的特性的确认。
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Ⅶ
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正如我前面已经说过的，数学家总是力图概括他们所得到的命题，不必另找例子，我刚才已经证明了等式：
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a＋1＝1＋a，
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后来利用它建立等式
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a＋b＝b＋a，
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该等式显然更为普遍。
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因此，像其他科学一样，数学也能够从特殊行进到普遍。
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在开始这项研究时，这是一个我们似乎不可理解的事实，但是由于我们弄清了递归证明和普通归纳的类似性，这个事实在我们看来就不再神秘了。
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毫无疑问，数学中的递归推理和物理学中的归纳推理建立在不同的基础上，但是它们的步调是相同的，它们在同一方向前进，也就是说，从特殊到普遍。
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让我们稍为比较仔细地审查一下这种情况。
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为了证明等式
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a＋2＝2＋a，
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只要把法则
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运用两次就足够了，而且可以写出