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这是定义两个量的加法的方式，因为若区间AB根据定义等于区间CD，则区间AD根据定义将是区间AB和CD之和。
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这个定义在很大程度上是任意的。然而也不完全如此。它服从某些条件，例如服从加法交换律和结合律。不过，一旦选定的定义满足这些法则，选择就无关紧要了，列举它也就无用了。
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几点评论。现在，我们能够讨论几个重要的问题：
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1°心智的创造力由于数学连续统的创造而枯竭了吗？
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不，杜布瓦-雷蒙（Du Bois-Reymond）以引人注目的方式证明这一点。
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我们知道，数学家区分不同阶的无限小，二阶无限小不仅以绝对的方式是无限小，而且相对于一阶无限小也是无限小。不难设想分数阶的无限小乃至无理数阶的无限小，从而我们再次发现数学连续统的标度，这正是我们在前几页所处理的。
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再者，有些无限小相对于一阶无限小是无限小，相反地，它们相对于1＋ε阶无限小则是无限大，而不管ε可能多么小。于是，这里有插入级数中的新项，如果可以容许我回复到不久前使用过的、虽不怎么通用但却十分方便的措词，那么我将说，这样便创造了一种三阶连续统。
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要再进一步是很容易的，但这却是无用的；人们只能想象没有应用可能的符号，没有一个人想这样做。考虑到不同阶的无限小而导致的三阶连续统本身并没有有用到足以赢得公民身份，几何学家只是把它视为珍奇的玩意儿。心智运用它的创造能力，只有在经验需要它的时候才行。
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2°一旦有了数学连续统的概念，人们能免除类似于产生它的那些矛盾吗？
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不能，我将举一个例子。
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人们必须很博学，才不致认为凡曲线都有切线是明显的；事实上，如果我们把这个曲线和一条直线画为两条窄带，我们总是能够如此安排它们，使它们有公共部分而不相交。其次，如果我们想象这两条带子的宽度无限地缩小，这个共同部分将总是继续存在，可以说到达极限，两线将有共同点而不相交，也就是说，它们将相切。
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以这种方式推理的几何学家只是有意或无意地正在做我们在上面已经做过的事情，即证明两线相交有一公共点，他的直觉好像是合理的。
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可是，直觉也许会欺骗他。我们能够证明，存在着没有切线的曲线，倘若这样的曲线被定义为二阶分析连续统的话。
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毫无疑问，类似于我们上面已经讨论的某些技巧也许足以消除矛盾；但是，因为这只有在十分例外的情况下才会遇到，它没有受到进一步的注意。
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我们不想试图把直觉与解析调和起来，我们甘愿牺牲二者之一，因为解析必定依然是无懈可击的，所以我们决定舍弃直觉。
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多维物理连续统。我们在上面讨论了从我们感官的直接材料引出的物理连续统，或者，如果你乐意的话，也可以说是从费希纳实验的粗糙结果引出的物理连续统；我已经表明，这些结果总括在下述矛盾的公式中：
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A＝B，B＝C，A＜C．
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现在让我们看看，这一概念怎样被概括，如何从它得出多维连续统的概念。
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考虑任何两个感觉的集合。或者我们能够把它们一一辨别开来，或者我们不能辨别，正像在费希纳实验中那样，10克的重物能够与12克的重物区别开来，但不能与11克的重物区别。这就是为构造多维连续统所需要的一切。
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让我们把这些感觉集合中的一个集合称为一个元素。这类似于数学家的点；不过也不是完全相同的东西。我们不能说我们的元素没有广延，由于我们无法把它与邻近的元素加以区别，从而它犹如被一种烟雾包围着。假如可以容许用天文学作比，那么我们的“元素”也许像星云，而数学点则像恒星。
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这已得到承认，如果我们借助于每一个元素都与前一个可以区分的相继元素的系列，能够从它们中的任何一个到达另一个，那么元素的系统将形成一个连续统。这种线性系列就是数学家的线，而孤立的元素则是点。
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在进一步之前，我们必须解释所谓截量意味着什么。考虑一个连续统C，并从中取出它的某些元素，我们暂时将认为这些元素不再属于这个连续统。如此取出的元素的集合将被称之为截量。于是便发生了下述情况：由于这个截量，C可以再分为许多不同的连续统，留下的元素的集合不再形成唯一的连续统。
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于是，在C上将有两个元素A和B，必须认为它们属于两个不同的连续统，而且人们将承认这一点，因为不可能找到C的相继元素的线性系列，这些第一个是A而最后一个是B的元素中的每一个都与前一个不可区分，这个系列中的元素之一不能与截量中的元素之一区分开来。
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相反地，也可能出现这样的情况：所做出的截量不足以再分割连续统C。为了对物理连续统进行分类，我们将严格地审查，为了再分它们必须做出的截量是什么。
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如果一个物理连续统C能够被一个截量再分，而这个截量可以划归为都可以相互区分的有限数目的元素（从而既不形成一个连续统，也不形成几个连续统），那么我们将说C是一维连续统。
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