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于是,在C上将有两个元素A和B,必须认为它们属于两个不同的连续统,而且人们将承认这一点,因为不可能找到C的相继元素的线性系列,这些第一个是A而最后一个是B的元素中的每一个都与前一个不可区分,这个系列中的元素之一不能与截量中的元素之一区分开来。
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相反地,也可能出现这样的情况:所做出的截量不足以再分割连续统C。为了对物理连续统进行分类,我们将严格地审查,为了再分它们必须做出的截量是什么。
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如果一个物理连续统C能够被一个截量再分,而这个截量可以划归为都可以相互区分的有限数目的元素(从而既不形成一个连续统,也不形成几个连续统),那么我们将说C是一维连续统。
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相反地,如果C只能被本身是连续统的截量再分,我们便说C有多维。如果是一维连续统的截量就能够再分,我们便说C有两维;如果是两维连续统的截量就足以再分,我们便说C有三维,如此等等。
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这样一来,由于两个感觉集合是可区分的或不可区分的这一十分简单的事实,便定义了多维物理连续统的概念。
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多维数学连续统。通过完全类似于我们在本章开头所讨论的过程,n维数学连续统的概念由此十分自然地涌现出来。你知道,这种连续统的点在我们看来好像是用称之为其坐标的n个不同的量的系统来定义的。
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这些量并不需要总是可测量的;例如,有一种与测量这些量无关的几何学的分支,在这种几何学中,例如需要了解的问题只是,在曲线ABC上,点B是否在点A和点C之间,而不需要了解弧AB是等于弧BC呢,还是比弧BC大一倍呢。这就是所谓的拓扑学。
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这是一门完整的学说,它吸引了绝大多数几何学家的注意力,我们从中看到,一系列值得注意的定理一个从另一个里涌现出来。这些定理与通常的几何学的定理的不同之处在于,它们纯粹是定性的,即使图形被拙劣的绘图员画得严重歪曲了比例,由于颤抖而把直线画得多少有些弯曲,这些定理依然为真。
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由于我们希望接着把测量引入刚刚定义的连续统,于是这个连续统变为空间,几何学诞生了。但对此的讨论留在第二编。
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〔1〕以及包括在特殊约定中的推理,这些约定适合于定义加法,我将在后面谈到它们。
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科学与假设 第二编 空间
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第三章 非欧几何学
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每一个结论假定先有前提;这些前提本身或者是自明的而不需要证明,或者只能依赖其他命题而建立,鉴于我们不能这样追溯到无穷,每一门演绎科学,尤其是几何学,必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此,有关几何学的论著,都是以陈述这些公理开始的。不过,在这些公理中,也要有所区分:例如,“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题,而是分析命题。我认为它们是先验分析判断,我不愿去理会它们。
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可是,我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理:
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1°通过两点只能作一条直线;
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2°直线是一点到另一点的最短的路径;
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3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。
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一般地,虽然第二个公理的证明被省略了,但是从其他两个公理以及从许多默认而没有阐述它们的公理中,可以把它演绎出来,我将进一步说明这一点。
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人们长期以来也想证明第三个公理,即所谓的欧几里得公设,但总是白费气力。人们为这一幻想的期望耗费了多么巨大的精力啊,其情景真是令人不可思议。最后,在19世纪头25年,几乎在同一时期,匈牙利的鲍耶(Bolyai)和俄国的罗巴契夫斯基无可辩驳地指出,这种证明是不可能的;他们几乎使我们摆脱了“无公设”的几何学的发明家;从此以后,法国科学院每年仅收到一两篇新证明的论文。
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问题并没有结束;不久,由于黎曼(Riemann)发表了题为《几何学的基本假设》的著名论文,问题才获得了巨大进展。这篇论文引出了许多新近的著作,我将进一步谈论它们,在这些著作中,引用一下贝尔特拉米(Beltrami)和亥姆霍兹(Helmholtz)的著作是合适的。
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鲍耶-罗巴契夫斯基几何学。假如可以从其他公理导出欧几里得公设,那么显而易见,在否定该公设和承认其他公理时,我们便会导致出矛盾的推论;因此,不可能在这样的前提上建立融贯的几何学。
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现在,这恰恰是罗巴契夫斯基所做的事情。
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