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不可能构造一个与已知图形相似、但具有不同维度的图形。
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如果我们把圆周分为n等分，并在各分点引切线，若圆的半径足够小，则这n个切线将形成一个多边形；可是，若这个半径足够大，则它们将不相交。
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多举这些例子是无用的；罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干，但它们在逻辑上却是相互密切关联的。
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黎曼几何学。设想一个唯一地由没有厚度（高度）的生物栖息的世界；并假定这些“无限扁平”的动物都在同一平面而不能离开。此外，还要承认这个世界距其他世界足够远，以致摆脱了那些世界的影响。当我们正在做假设时，我们不妨再赋予这些生物以理性，并相信它们能够创造几何学。在此情况下，它们将肯定认为空间只有两维。
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不过，现在假定，这些想象的动物虽则依然没有厚度，但它的体形却是球形的而不是平面形的，它们都在同一球上，没有能力走出去。它们将构造什么几何学呢？首先，很清楚，它们将认为空间只有两维；对他们来说，起直线作用的将是球面上一点到另一点的最短路径，即大圆弧；一句话，它们的几何学将是球面几何。
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它们所谓的空间将是它们必须停留于其上的这个球面，在这个球面上，发生着它们能够了解的一切现象。因此，它们的空间将是无界的，因为在一个球面上人们总是能够一直向前而永远也不会停下来，不过它们的空间将是有限的；人们从来也不能找到它的终点，但却可以绕它转圈子。
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好了，黎曼几何学是扩展到三维的球面几何。为了构造它，这位德国数学家不仅不得不抛弃欧几里得公设，而且也不得不抛弃第一个公理：通过两点只能做一条直线。
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一般地讲，在球面上，通过两已知点我们只能引一个大圆（正如我们刚才看到的，对于我们想象的生物来说，这种大圆可以起直线的作用）；但是也有例外：若两已知点在对径上，则通过它们能引无数个大圆。
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同样地，在黎曼几何学（至少在它的各种形式之一）中，通过两点一般只能引一条直线；但是也有例外情况，即通过两点能引无数条直线。
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在黎曼几何学和罗巴契夫斯基几何学之间存在着某种对立的东西。
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例如，三角形的角之和是：
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在欧几里得几何学中等于两直角；
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在罗巴契夫斯基几何学中小于两直角；
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在黎曼几何学中大于两直角。
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通过一给定点能够引与已知直线共面但无论在什么地方也不与之相交的直线数是：
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在欧几里得几何学中等于1；
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在黎曼几何学中等于0；
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在罗巴契夫斯基几何学中等于无限。
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而且，黎曼空间虽则是无界的，但却是有限的，这是在上面给予这两个词的意义上而言的。
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常曲率面。一种反对意见依然是可能的。罗巴契夫斯基和黎曼的定理没有表现出矛盾；可是，这两位几何学家无论从他们的假设中引出多么多的推论，他们也必须在穷尽这些推论之前停下来，不然其数目将是无限的了；而且，谁能够说，如果他们把演绎推得更远一些，他们最终不会达到某些矛盾吗？
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对于黎曼几何学而言，只要把它限制在两维，就没有这种困难；事实上，正如我们看到的，两维黎曼几何学与球面几何毫无差别，它只是普通几何学的一个分支，因而毋庸讨论。
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同样，贝尔特拉米把罗巴契夫斯基的两维几何学看做是普通几何学的一个分支，他也驳斥了有关的反对意见。
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在这里，且看他是如何完成它的。考虑曲面上的任何图形。设想这个图形以下述方式画在一个易弯曲而不可扩展的、紧贴在这个曲面的画布上：当这个画布移动和变形时，这个图形的各种线条能改变它们的形状而不改变它们的长度。一般说来，这个易弯曲而不可扩展的图形在不离开该曲面的情况下是不能移动的；但是，也有某些特殊的曲面可以这样移动；这就是常曲率面。
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如果我们重新开始上面所作的比较，并设想没有厚度的生物生活在这些曲面之一上，那么它们将认为其所有线条在长度上依然保持不变的图形的运动是可能的。相反地，对于生活在可变曲率面上的无厚度的动物来说，这样一种移动似乎是荒谬的。
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这些常曲率面分为两类：一些是正曲率的，它们能够变形而紧贴在球面上。因此，这些曲面的几何学本身划归为球面几何，这就是黎曼几何学。
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