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事实上，这个定义并没有定义什么；对于生活在只有流体的世界的生物来说，它是毫无意义的。假如它在我们看来似乎是清楚的，那是因为我们利用了天然固体的性质，天然固体与所有维度都不可改变的理想固体并没有很大的差别。
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尽管这个定义可能是不完善的，但它也隐含着公理。
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刚性图形运动的可能性并不是自明的真，或者至少仅就欧几里得公设的样式来看是如此，它不像先验分析判断那样。
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再者，在研究几何学的定义和证明时，我们看到，人们被迫在毫无证据的情况下不仅承认这种运动的可能性，此外还要承认它的某些性质。
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可以立即从直线的定义中看到这一点。人们给出了许多有缺陷的定义，但是真正的定义却隐含在直线所参与的一切证明中：
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“刚性图形的运动可以这样发生：属于这个图形的线的各点依然不动，而处于这条线外的各点则运动。这样的线被称之为直线。”在这个阐述中，我们故意把定义和它所隐含的公理隔离开来。
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许多证明，例如三角形全等例子的证明，从一点向一直线引垂线的证明，都预先假定了未阐述的命题，因为它们需要承认，在空间以某种方式移动图形是可能的。
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第四种几何学。在这些隐公理中，有一个公理在我看来似乎是值得注意一下的，因为抛弃了它，便能够构造出像欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的几何学一样融贯的第四种几何学。
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为了证明在一点A总可以向直线AB引垂线，我们考虑一直线AC，它可以绕A点移动且开始时与固定的直线AB重合；我们使它绕点A转动，直到它转到AB的延长线上。
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这样一来，便预先假定了两个命题：首先，这样的转动是可能的，其次，转动可以继续下去，直到两条直线互为延长线时为止。
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如果承认第一点而否认第二点，我们便有可能得到一系列定理，这些定理甚至比罗巴契夫斯基和黎曼的定理更奇异，但同样没有矛盾。
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我只想引用这些定理中的一个，它并不是最奇特的：实直线可以垂直于它本身。
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李定理。在典型的证明中，隐含地引入的公理数比所需要的要多，把它简化到最少也许是引人入胜的。希尔伯特（Hilbert）仿佛已对这个问题做出了最后的解答。首先，人们大概会先验地询问，这种简化是否可能，必要的公理数和可以想象的几何学数是否不是无限的。
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索弗斯·李（Sophus Lie）定理支配着这一整个讨论。它可以这样阐述：
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假定下述前提得到公认：
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1°空间有n维；
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2°刚性图形的运动是可能的；
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3°要决定这个图形在空间的位置需要p个条件。
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适合于这些前提的几何学数将是有限的。
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甚至还可以附加说，如果n是已知的，能够指定最高极限为P。
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因此，如果承认运动的可能性，那么只能发明有限（甚至是相当少的）数目的三维几何学。
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黎曼几何学。可是，这个结果似乎受到黎曼的反驳，因为这位学者构造了无数不同的几何学，通常以他名字命名的几何学只是一个特例。
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他说，一切均取决于如何定义曲线的长度。现在，有无数定义这一长度的方法，它们中的每一个都可以成为新几何学的起点。
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这是完全为真，不过这些定义中的大多数都与刚性图形的运动格格不入，而在李定理中，则假定这种运动是可能的。因此，这些黎曼几何学尽管在许多方面如此有趣，但它们永远不过是纯粹分析的，是不适合于类似于欧几里得那样的证明的。
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希尔伯特几何学。最后韦罗纳塞（Veronese）先生和希尔伯特先生曾构想出更新奇的几何学，他们称其为“非阿基米德（Archimedes）几何学”。他们舍弃阿基米德公理，而建立新的几何学，根据这条公理，凡以足够大的整数乘以给定的长度，最终必然超过原先给定的任何大的长度。在一条非阿基米德直线上遍布着普通几何学的点，但尚有无穷的点夹在其中，这样一来，旧派几何学家认为相邻接的两截段之间，现在就可以插入无穷多的新点。一句话，按前一章的说法，非阿基米德空间不再是二维连续统，而是三维连续统。
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