1701107370
Ⅲ．物理科学中的概率。我现在来到与我们所谓的第二级无知有关的问题上，也就是说，在这些问题中，我们知道定律，但不知道系统的初始状态。我能增加许多例子，但只想举一个。在黄道带上，小行星目前可能的分布如何？
1701107371
1701107372
我知道它们服从开普勒定律。我们甚至根本不用改变问题的性质就可以假定，它们的轨道都是圆的，并且处在同一平面上，我们知道这个平面。另一方面，谈到它们的初始分布，我们却一无所知。不过，我们却毫不犹豫地断定，它们的分布现在几乎是均匀的。为什么呢？
1701107373
1701107374
设b是小行星在初始时刻的黄经，也就是说，初始时刻是零。设a是它的平均运动。它在目前时刻，即在t时刻的黄经将是at＋b。说目前的分布是均匀的，也就是说at＋b的倍数的正弦和余弦之平均值是零。为什么我们肯定这一点呢？
1701107375
1701107376
让我们用平面上的一点来代表每一个小行星，也就是说，用其坐标恰恰是a和b的点来代表。这一切表示点将被包括在该平面的某一区域内，但是当点很多时，这个区域看来好像布满了点。关于这些点的分布，我们一无所知。
1701107377
1701107378
当我们想把概率演算用于这样的问题时，我们怎么办呢？在该平面的某一部分可以找到一个或多个表示点的概率是多少？由于我们无知，我们只好做任意的假设。为了说明这个假设的性质，请容许我利用粗糙的但却是具体的图像，以代替数学公式。让我们设想，在我们平面的表面上，铺一层虚构的实物，其密度是可变的，但却是连续地变化的。然后我们一致说，在该平面一部分上找到表示点的概数（probable number）与在那里找到的虚构的物质之量成比例。因此，如果我们在该平面上有相同范围的两个区域，那么在这一区域或那一区域找到一个小行星的表示点的概率将与在这一区域或那一区域虚构物质的平均密度彼此一样。
1701107379
1701107380
于是，这里有两种分布：一种是实在的，其中表示点很多、十分密集，但却像原子假设中的物质分子一样是离散的；另一种远离实在，其中我们的表示点被连续的虚构物质代替。我们知道，后者不能是实在的，但是我们的无知迫使我们采纳它。
1701107381
1701107382
倘若我们还有关于表示点的真实分布的某些观念的话，我们就可以这样排列它，使得在某范围的一个区域中，这种虚构的连续物质的密度几乎与表示点的数目成比例，或者，如果你愿意的话，也可以说与包括在那个区域中的原子数成比例。甚至这也是不可能的，我们的无知太厉害了，以致我们被迫任意选择函数，来定义我们的虚构物质的密度。我们将只受我们几乎不能避免的假设的限制，我们可以假定这个函数是连续的。正如我们将要看到的，这能够充分地使我们得出结论。
1701107383
1701107384
小行星在时刻t的概然分布是什么？或者确切地讲，黄经在时刻t的正弦，即Sin（at＋b）的概值是多少？起初我们做出了任意的约定，但是我们若采用它，则这个概值就完全确定了。把平面分成面元。考虑Sin（at＋b）在每一个面元中心的值；把这个值乘以面元的面积和虚构物质的相应密度。然后，取该平面所有面元之和。按照定义，这个和将是我们所求的平均概值，它是用二重积分表示的。人们乍看起来可能认为，平均值取决于定义虚构物质密度的函数的选择，由于这个函数φ是任意的，按照我们所做的任意选择，我们能够得到任何平均值。但这并非如此。
1701107385
1701107386
简单的演算表明，当t增加时，我们的二重积分急剧地减小。因此，我完全无法告诉，关于这个或那个初始分布的概率，我们能做什么假设；但是，不论作什么假设，结果将是相同的，这使我摆脱了我的困难。
1701107387
1701107388
无论函数φ是什么，当t增加时，则平均值趋于零，而且由于小行星肯定已完成了极大次数的旋转，所以我可以断言，这平均值是很小的。
1701107389
1701107390
我可以像我希望的那样选择φ，不过总有一个限制：这个函数必须是连续的；而且，事实上，从主观概率的观点来看，选择非连续函数也许是不合理的。例如，我会有什么理由假定，初始黄经必须严格为0°，而不能处在0°和1°之间呢？
1701107391
1701107392
但是，如果我们采用主观概率的观点，如果我们从我们设想的虚构物质是连续的分布过渡到我们的表示点在其中仿佛形成分立的原子那样的真实分布，那么困难就出现了。
1701107393
1701107394
Sin（at＋b）的平均值将十分简单地用
1701107395
1701107396
1701107397
1701107398
1701107399
来表示，n是小行星的数目。作为与连续函数有关的二重积分的替代，我们将有离散项之和。可是，没有人会认真地怀疑，这个平均值实际上是很小的。
1701107400
1701107401
由于表示点十分密集，我们的离散和一般来说与积分的差异将是极其微小的。
1701107402
1701107403
当离散项的数目无限增加时，积分就是这些项之和趋近的极限。如果项很多，和与它的极限相差也很小，也就是说，与积分相差很小，我就积分所说的话对于和本身而言还将为真。
1701107404
1701107405
然而也有例外。例如，对于一切小行星来说，如果
1701107406
1701107407
1701107408
1701107409
1701107410
那么所有行星在时间t的黄经总是π/2，其平均值显然等于1。为使情况如此，在时刻0时，也许有必要让小行星都处在特殊形状的螺旋上，这个螺旋的螺纹是十分密集的。每一个人将承认，这样的初始分布是极为不可能的（而且，即使假定它实现了，这种分布在目前，例如在1900年1月1日，也不会是均匀的，但是在几年后，它却会变均匀）。
1701107411
1701107412
可是，我们为什么认为这种初始分布不可能呢？这是必须说明的，因为我们若没有理由把这个怪诞的假设作为不可能的而加以拒绝，那么一切都会毁坏的，而且我们再也不能就某个目前分布的概率做出任何断言了。
1701107413
1701107414
我们将再次求助充足理由律，我们总是必须重新提起它。我们应该承认，开始时行星几乎分布在一条直线上。我们应该承认，它们是不规则分布的。但是，在我们看来，似乎没有充足的理由认为，某种未知的原因引起它们沿着如此规则却又如此复杂的曲线运行，这仿佛是特意如此选择的，从而使得目前的分布不可能均匀。
1701107415
1701107416
Ⅳ．红与黑。像轮盘赌这样的机遇游戏所产生的问题，基本上与我刚才论述的问题完全类似。例如，把一个轮盘分为极多的红黑相间的等分。用力使指针旋转，在转了许多圈之后，它停在这些分格之一上。这个分格是红的概率显然是1/2。指针旋转的角度为θ，且包括几个整圈。用这样的力转动指针，使这个角度必须处于θ与θ＋dθ之间，我不知道其概率是多少；但是，我能够做出约定。我可以假定，这个概率是φ（θ）dθ。至于函数φ（θ），我能够以完全任意的方式选择它。在我选择时，没有什么东西能够指导我，但是我自然地被导致假定这个函数是连续的。
1701107417
1701107418
设ε是每一个红分格和黑分格的长度（在半径为1的圆周上测量）。我们必须计算φ（θ）dθ的积分，一方面把它扩大到所有红分格，另一方面把它扩大到所有黑分格，并把结果进行比较。
1701107419