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其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。比如，我知道一段距离的长短和走完这段距离的时间，就可以算出一个平均速度。但是，每个瞬间的速度，我并不了解。于是，牛顿就发明了微分，用“无穷小”这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。而积分与微分正好相反，它反映的是瞬间变量的积累效应。
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那么，到底什么是微积分？
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我举个简单的例子。一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。但有了加速度，并不会瞬间产生速度。当加速度累积一段时间后，才会产生速度。而有了速度，并不会瞬间产生位移。当速度累积一段时间后，才会有位移。
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宏观上，我们看到的是位移；微观上，整个过程是从加速度开始累积的——加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。这就是积分。
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反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度经过了一段时间的累积。而物体之所以会有速度，是因为加速度经过了一段时间的累积。位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。宏观上我们看到的位移，微观上其实是每一个瞬间速度的累积。而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度。这就是微分。
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那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？
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理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。
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加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。其实人也是一样。你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能力。你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。而你有了能力，并不会马上做出成绩。你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。你的成绩，得累积一段时间，才会使你得到领导的赏识。
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从努力到能力，到成绩，到赏识，是有一个过程的，有一个积分的效应。
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但是你会发现，生活中有很多人，在开始努力的第一天，就会抱怨：“我今天这么努力，领导为什么不赏识我？”他忘了，想要得到领导的赏识，还需要一个积分的效应。
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反过来说，有的人可能一直以来工作都做得很好，但是从某个时候开始，因为一些原因，慢慢懈怠了。他的努力程度下降了，但是他的能力并不会马上跟着下降。可能过了三四个月，能力的下降才会慢慢显示出来，他会发现做事情不像以前那么得心应手了。又过了三四个月，他做出来的东西，领导开始越来越看不上了。在某一瞬间，很多人会觉得“有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗”，但他忘了，这其实是一个积分效应，早在七八个月前他不努力的时候，就给这样的结果埋下了种子。
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努力的时候，都希望大家瞬间认可，而出了问题后，却不去想几个月之前的懈怠。这是很多人都容易走进的思维误区。
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而如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可；你就会拥有一个平衡的心态，避免犯这样的错误。
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吴军老师经常讲一句话，叫作“莫欺少年穷”。其实，从本质上来说，这也体现了微积分的思维方式。少年虽穷，虽然目前积累的还很少，但是，只要他的增速（用数学的语言来说，叫导数）够快，经过五年、十年，他的积累会非常丰厚。
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吴军老师还给年轻人提过一个建议：不要在乎你的第一份薪水。这其实也体现了微积分的思维方式。一开始拿多少钱不重要，重要的是增速（导数）。
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微积分的思维方式，从本质上来说，就是用动态的眼光看问题。一件事情的结果，并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应造成的。出了问题，不要只看当时那个瞬间，你只有从宏观一直追溯（求导）到微观，才能找到问题的根源所在。
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公理体系
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第三种数学思维，源于几何学，叫作公理体系（见图2-16）。
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什么是公理体系？比如，几何学有一门分科，叫作欧几里得几何，也被称为欧氏几何。欧氏几何有五条最基本的公理：
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（1）任意两个点可以通过一条直线连接。
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（2）任意线段能无限延长成一条直线。
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图2-16 公理体系
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（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作圆。
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（4）所有直角都彼此相等。