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（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作圆。
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（4）所有直角都彼此相等。
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（5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
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公理，是具有自明性并且被公认的命题。在欧氏几何中，其他所有的定理（或者说命题），都是以这五条公理为出发点，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。
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从这五条公理出发，可以推导出无数条定理。比如：每一条线的角度都是180度；三角形的内角和等于180度；过直线外的一点，有且只有的一条直线和已知直线平行……这构成了欧氏几何庞大的公理体系。
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如果说公理体系是一棵大树，那么公理就是大树的树根。
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而在几何学的另一门分科罗巴切夫斯基几何中，它的公理体系又不一样了。
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从罗巴切夫斯基几何的公理出发，可以推导出这样的定理：三角形的内角和小于180度；过直线外的一点，至少有两条直线和已知直线平行。这跟欧氏几何是完全不同的。（罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识，但它解决的主要是曲面上的几何问题，和欧氏几何并不冲突。）
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因为公理不同，所以推导出来的定理就不同，因此罗巴切夫斯基几何的公理体系和欧氏几何的公理体系也完全不同。
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在几何学中，一旦制定了不同的公理，就会得到完全不同的知识体系。这就是“公理体系”思维。
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这种思维在我们的生活中非常重要，比如，每家公司都有自己的愿景、使命、价值观，或者说是公司的基因、文化。因为愿景、使命、价值观不同，公司与公司之间的行为和决策差异就会很大。
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一家公司的愿景、使命、价值观，其实就相当于这家公司的公理。公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。所有的规章制度、工作流程、决策行为，都是在愿景、使命、价值观这些公理上生长出来的定理。它们构成了这家公司的公理体系。
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而这个体系，一定是完全自洽的。什么叫完全自洽？就是一家公司一旦有了完备的公理体系，其实就不需要老板来做决定了，因为公理能推导出所有的定理。不管公司以后会怎么发展，会遇到什么情况，只要有公理存在，就会演绎出一套能够解决问题的新的法则（定理）。
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如果你发现你的公司每天都需要老板来做决定，或者公司的规章制度、工作流程、决策行为和公司的愿景、使命、价值观不符，那说明公司的公理还不完备，或者你的推导过程出现了问题。这个时候，你就需要修修补补，将公司的公理体系一步步搭建起来。
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我曾跟小伙伴说：“我在公司只做三件事，设置责权利、捍卫价值观和做一只安静的内容奶牛。关于责权利法则，我们只有一条公理——创造最大价值的人，获得最大的收益。所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根据这条公理推演出的定理。任何制度安排（定理），如果违背了唯一的公理，那一定是我的智商不够用导致的。我会为我的智商道歉，然后坚定地修改制度安排（定理）。如果我拒不改正，或者动摇了公理，请毅然决然地离开我。那个我，不值得你们跟随。我们因为有相同的公理体系，而彼此成就。”
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公理没有对错，不需要被证明，公理是一种选择，是一种共识，是一种基准原则。
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制定不同的公理，就会得到完全不同的公理体系，也就会得到完全不同的结果。
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数字的方向性
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第四种数学思维，源于代数，叫作“数字的方向性”（见图2-17）。
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图2-17 数字的方向性
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我们学代数，最开始学的是自然数，包括0和正整数（0，1，2，3，4，5，…）；然后学的是整数，包括负整数和自然数（…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…）；之后学的是有理数，包括整数和分数。
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在学习分数之前，在我们的认知中，数字是离散的，是一个一个的点。而有了分数，数字就开始变得连续了。这就像在生活中，一开始你看事情，看的是对和错、大和小。慢慢地，你认识到世界其实并没有这么简单，你看事情开始看到灰度。
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在有理数之后，我们又学了无理数。无理数，就是无限不循环小数，比如π。任何一个有理数，都可以由两个数相除而得来。但是无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。这会让你认识到，在这个世界上，有些事情就是复杂到没有规律。π就是π，根号就是根号，它就是很复杂，你不要试图用简单粗暴的方式来定义它。你要承认它的客观存在，承认这个世界的复杂性。
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你看，我们不断地深入学习各种数，其实是在一步一步地理解世界的复杂性。