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她一边想一边自言自语，很显然她的理解越来越深入了：“嗯，我明白了，虽然……但……我明白了。y轴数值一旦增加，这条线就更接近y轴一些。不过我还是有些地方搞不明白……”
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她停下来，歪着脑袋看屏幕。
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“我有点不明白。现在已经是1/10了，但这并不是我想要的……”
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接着，她发现了问题的症结所在。
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“哦！无论y轴数值增加多少，x轴都是零。也就是任意数字除以零！”她的脸闪耀着光芒，“直线就是任意数字除以零——而这样的数是无穷大的。呵呵，好的，现在我明白了。直线的斜率是不存在的。哈哈哈。这下我可明白了，我不能再忘了。”
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怎样做才算是勤奋
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多年以来，舍恩菲尔德利用录像机拍摄了无数学生解决数学难题的过程。但是蕾妮的这段录像是舍恩菲尔德最推崇的，因为它完美展现了数学学习的秘密。从蕾妮开始学习程序使用，到她最后说“哈哈哈，这下我可明白了”中间一共过去22分钟。这可是一段相当长的时间。“这是一道八年级数学题，”舍恩菲尔德说，“如果我让一个普通水平的八年级学生坐到蕾妮的位置上，我估计试不了几次他们就会说：‘我做不出来，给我解释一下吧。’”在另一次问卷调查中，舍恩菲尔德问高年级学生，当面对一道难题做不出来放弃之前会花多少时间思考，他得到的答案从30秒钟到5分钟不等，平均两分钟。
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但是蕾妮却一直坚持。她不断试验，虽然屡战屡败，但屡败屡战。她把自己的设想说出来，反复思索。她不断坚持，不愿放弃。一开始她就朦朦胧胧地知道自己画线的方法有问题，但她一直坚持到彻底解决问题才肯罢休。
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蕾妮不是数学天才，“斜率”或“无穷大”这样的基本数学概念对她来说都不是很容易。但舍恩菲尔德却从她身上发现了不一般的品性。
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“她身上的某种意愿驱使她做这种努力，”舍恩菲尔德说，“她并不接受肤浅的解释，然后说一句‘是的，你说得对’就走开；她愿意更深入地理解，这一点异乎寻常。”他把录像退回到蕾妮发现斜率造成图形改变而露出一脸好奇的片段。
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“看，”他说道，“她恍然大悟。许多学生对改变斜率造成图形变化无动于衷，而她却在思考：‘这跟我想的不太一样，我不太理解。但这一点一定很重要，我想找到答案。’当她最终找到答案的时候，她说：‘是的，这就对了。’”
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舍恩菲尔德在大学教授“疑难解决”课程。这门课程设计的初衷，用他的话来说，就是帮助学生摆脱以前养成的不良学习习惯。“我选了一个难度适中的问题，”他说，“我告诉学生：‘我给你们布置一个为期两星期的课外考试。我知道你们会怎么做。第一个星期你们什么都不用做，等第二个星期才开始。但是现在我要提醒你们：如果你们只花一个星期，你们是解决不了这道题目的。你们中肯定也有人今天就动手解决，但很快会被困住。你们会来跟我说，这题目我做不出来。但那个时候我会告诉你们，坚持下去，到了第二个星期，自然会有意想不到的进展。’”
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很多时候我们希望自己天生就擅长数学。然而只有一部分人有这种能力，另一部分人则没有。但对于舍恩菲尔德来说，态度比能力更重要。只要你有意愿，你就能驾驭数学。这也正是舍恩菲尔德向学生传授的思想。成功就是坚持不懈，就是顽强不屈，就是别人花30秒钟就放弃的事你却花22分钟去思考的坚定信念。只要组织一班有蕾妮精神的学生，给他们提供地方，给他们时间让他们在数学上钻研，他们就能取得长足进步。想象一下，在一个人人都有蕾妮精神的国度，人们的这一品性发源于其文化本身，正如“荣誉文化”植根于坎伯兰高原，那么这样的国度的人们就不可能不擅长数学。
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劳有所得
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国际教育成就评价协会每4年会针对全世界的中小学生举办一次数学与科学研究和评测活动，这就是大名鼎鼎的TIMSS考试。（即国际数学与科学趋势研究。在第1章，我们讨论生于招生日期前、后的四年级学生学习差异时曾经提到过TIMSS考试。）这项研究旨在比较不同国家和地区在教育方面取得的成就。
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当各国学生参加TIMSS考试时，他们都需按要求填写一份问卷。问卷里有各种各样的问题，诸如父母的教育水平，对数学的看法，朋友都是些什么类型的人等。你可别以为这是随随便便的问卷，这份问卷题目多达120道。实际上，这些问题既单调又麻烦，很多学生最后都有一二十道问题空着没填。
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最有意思的部分出现了。问卷调查的统计结果是，来自不同国家的学生的答题平均数量不同，也就是说，可以按照各国学生答题平均数量进行排序。现在如果将答题平均数量排序和各国TIMSS考试得分排序放在一起比较，你认为会发现什么呢？两者的排序是一致的。换句话就是，哪个国家的学生更愿意花时间仔细回答冗长的问卷，这个国家的学生在TIMSS考试中取得的成绩就更好。
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碰巧发现这一现象的是宾夕法尼亚大学的俄林·波依。“这真是出乎意料。”他说。波依到现在也没能把这一发现发表在学术期刊上，原因是学术期刊认为他的论点过于怪异。提醒一下，他的论点并不是完成问卷的能力和数学考试的能力存在关联性，而是这两者根本就是完全一致：你如果比较两个排名，会发现结果完全一致。
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让我们再换一个角度考虑这个问题。每年在世界的一个知名大都市都会举办奥林匹克数学竞赛，每个国家都会派出1 000名八年级学生参赛。照波依的观点，不需要任何数学题，我们就能精确预测每个国家在奥林匹克数学竞赛中成绩的排名。我们所要做的就是提供一份问卷，考察学生们的努力意愿程度。实际上，我们连这样的问卷都不需要做，我们只要考察哪个国家的文化特别强调努力的作用，我们就已经可以预测结果了。
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那么，名单的最顶端是哪些国家或地区呢？答案也许并不令人意外：新加坡，韩国，中国台湾，中国香港和日本。这5个国家或地区的共通点在哪里？共通点就是他们的文化都是崇尚有意义工作的稻田文明[68]。千百年来在这些地方，贫穷的农民在稻田里坚持着每年3 000小时的耕种，为了生存下去，他们的观念就是：“一年忙到头，吃穿不用愁。”[69]
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[65]英语中的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写为zero, one, two, three, four, five, six, seven, eight, nine, ten。——译者注
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[66]在相关的国际比较试验中，来自日本、韩国、中国香港、新加坡和中国台湾的学生在数学测试中得分大致相当，约为98%；而来自美国、法国、英国、德国以及其他一些西方工业国家的学生数学测试得分集中在26%至36%。差异十分显著。
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[67]林恩关于亚洲人有更高智商的论断已经被其他专家用更可靠的数据推翻。这些专家指出，林恩该项调查仅从城市中上收入阶层取样，缺乏代表性。世界级智商研究专家詹姆士·菲林随后进行了一项更有说服力的反正实验。菲林认为从历史上看亚洲人的智商甚至轻微低于白种人智商；亚洲人在数学方面有优势并不是因为其智商高。菲林的此一论点见诸其著作《亚裔美国人：超越智商的成就》（Asian Americans: Achievement Beyond IQ）（1991年）。
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[68]这里有两点需要说明：首先中国大陆地区并不在列表中，原因是中国大陆地区至今没有选派学生参加TIMSS考试。但是中国台湾和中国香港在排名之中如此靠前，表明了中国大陆地区要是参加考试，排名也不会差。
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