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分组→集合论，组合学
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莱恩认为，“数学起始于各种人类活动，用来解决许多一般性而不是任意的概念，然后将这些概念及其各方面的互动关系加以形式化”。数学的力量在于形式的规则系统可以“将各种初始人类活动的深刻和微妙特性加以编码”。所有人——甚至蹒跚学步的幼童——都本能地知道从A径直到B然后再到C的路程距离要长于从A径直到C的距离。所有人还都能视觉想象出一条线如何界定一个正方形的边缘，以及形状如何能邻接一起组成更大的形状。但需要一个数学家来证明三角形斜边的平方等于另外两边的平方之和，这样人们就能计算AC捷径所节约的路程，而无须亲历跋涉。
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有人认为，学校数学源自于直觉数学，这并不是说它来得很轻松。戴维·吉里认为，自然选择赋予了孩子们一些基本的数学能力：确定小集合的数量，理解“多于”“少于”和较小数字的排序，加减小集合，以及用数字词汇来简单地数数、度量和算术。但也就到此为止。他认为，孩子们在生物上并没有被设计能够运用大数字词汇、大集合、基于10的系统、分数、多列加减法、进位、借位、乘法、除法、根和指数。这些技能发展得非常缓慢、不均衡或者根本没有。
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在进化基础上，如果孩子们在心理禀赋上具备了学习数学的技能，那才会令人惊讶。这些工具只是在较晚近的历史和少数几个文化中才被发明，要是贴上人类基因组的标签，这在时间上太晚、地域上也太局部了。最初孕育这些发明的是农业文明中农产品剩余的记载和交易。由于有了正规的学校教育和书写语言（其本身也是一项最近的、非本能的发明），这些发明可以经过几千年的积累，简单的数学运算可以组成越来越复杂的运算。书写符号可以作为计算的媒介来克服短期记忆的局限，就像今天的硅芯片一样。
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人们怎么能用他们石器时代的心智来运用高技术的数学仪器呢？第一种方式是，让心智模块能够作用在与当初设计不同的物体身上。通常，线条和形状这样的信号输入是由我们负责空间感觉的意象和心智组块来分析的，而大量的东西则是由我们的数字机能来分析的。但为了实现莱恩解决从狭隘中提炼通用的理想（例如，从一堆石头的数目这样的狭隘概念中，清理出数量的通用概念），人们可能需要将他们的数字感觉应用到一个起初觉得好像不属于适当种类的物体。例如，人们在分析一条沙地中的线时，可能并不需要连续扫描和切换的习惯性意象运作，而是要从一端到另一端来报数虚拟线段。
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第二种方式是，练习。这种方式类似于获得在卡耐基音乐厅表演机会的方式。数学概念来自于把旧的概念以一种有用的新方式组合在一起。而那些旧的概念也是更旧的一些概念的组合物。每种组合、子组合都是由被称为组块和自动化的心理铆钉连接在一起的：通过大量的练习，概念黏合成更大的概念，步骤顺序被组合为单个一步。自行车是由框架和轮子组成，而不是由管子和辐条组合而成；食谱讲怎样做调味汁，而不是讲怎样拿勺子开启罐子。就像它们一样，数学学习是将已经大量学习的惯例结合在一起。微积分老师哀叹学生们觉得这门课难，不是因为导数和积分是深奥的概念——它们不过是比率和累积而已——因为你无法做微积分，除非你的代数运算已经是第二天性了，而绝大多数学生上这门课时，代数的掌握程度还是不行，因此需要在此集中耗费他们大量的心理能量。数学是残酷的累积性学科，向前一直追溯到从一数到十。
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进化心理学对于儿童教育学颇有启示，这在数学教学方面尤为明确。美国儿童在数学才能测试方面处于工业化发达国家中表现最差的行列。他们并非天生蠢才，问题在于，教育的设置忽视了进化因素。在美国，数学教育的主导哲学是建构主义，混合了反文化和后现代意识形态的皮亚杰式心理学。孩子们必须在一个社会性环境中主动积极地为自己构建数学知识，而这种环境的内驱力中则对概念的含义没有达成一致。老师提供了材料和社会性氛围，但不做讲授或引导讨论。演练和练习，通向自动化的途径，被称为是“机械论”和不利于理解的。正如一位儿童教育者明白地解释道：“对于具体数学概念的可能建构范畴是由孩子们对此概念所做的可能修改决定的，或者是作为数学学习环境中互动沟通的一个结果。”这种结果，另一位教育者宣称：“有可能让学生来为自己建构，历史上花费了几千年才进化而来的数学知识。”
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正如吉尔瑞所指出的，建构主义对于自然发自于所有孩子的小数字和简单算术直觉来说是有价值的。但它忽略了我们先天具有的设备与人类文明在后天加装在我们身上的辅助工具之间的差异。将我们的心智模块设置为针对并非设计所用范围的材料而工作，这非常困难。孩子们不能自发地把一串珠子看作是一个集合中的元素，或是把一条线看作一些数字。如果你给他们一堆积木，让他们将这些积木一起用来做些什么，他们会用积木来练习他们的直觉物理学和直觉心理学，但不一定练习他们的直觉数字感。更好的教学安排是，明确指出各种理解方式之间的联系。可以告诉孩子们来用三种不同方式做每一道算术题：数数、画图和把各部分摆成一条数字线。如果没有练习过把暂停的序列步骤加入一个心智反射中，学习者就总是会从最小的螺母螺栓起构建数学结构，就像从未分组块装配过表的制表匠每次因接电话而停下来手中的活计后，都不得不重新从零开始工作一样。
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精通数学会有丰厚的回报，但这种回报是辛勤工作换来的，而辛勤工作本身并不总令人愉快。不像在其他文化中常见的，努力赢得的数学技能会受到尊重，在美国的文化中，对数学的掌握不大可能兴旺繁荣。令人悲哀的是，同样的事情正在美国的阅读指导教育方面重演。其称为“整体语言”的主导技术中，语言是自然发展的人类本能这一洞见已经被断章取义为这样一种论断，阅读是自然发展的人类本能这样在进化上不可能的。旧式的将字母与发音建立联系的练习，被专注于丰富文本的社会环境所取代，而孩子们则没有学习阅读。如果不了解心智在我们进化的环境中被设计所做的事情，所谓正规教育这样的非自然活动就不大可能取得成功。
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“我永远也不会相信上帝在和这个世界掷骰子。”这是爱因斯坦的一句名言。无论爱因斯坦关于量子力学和宇宙的说法是否正确，他对人们在日常生活中游戏规则的声明都一定是错误的。生命不是国际象棋而是西洋双陆棋，每一轮都要掷骰子。结果就是，很难做出预测，特别是对未来的预测（正如约吉·贝拉所宣称的那样）。但在一个由所有规律构成的宇宙中，根据过去所做的决策要比随意做出的决策更好些。这一直是对的，所以我们估计有机体，特别是像人类这样偏好信息的物种，会进化出关于概率的敏锐直觉。概率论的创始者们，像逻辑学的创始者们一样，想象他们只是在将常识感觉形式化了而已。
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但为什么用马西莫·皮亚泰里·帕尔马里尼（Massimo Piattelli-Palmarini）的话来说，人们似乎常常是“概率盲”呢？许多数学家和科学家总是悲叹，普通人在对风险推理时表现出数学盲。心理学家阿莫斯·特沃斯基和丹尼尔·卡尼曼积累了大量巧妙的事例，来展示人们对机遇的直觉把握似乎蔑视了概率理论的基本规则。这里有一些著名的例子：
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人们怀着赌博的心态购买州政府彩券，有时被称为“愚蠢税”。但既然赌博场馆必须盈利，赌徒一般而言，就必定会输。
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人们对飞机的恐惧更甚于汽车，特别是在看（听）到一条残酷的飞机失事新闻之后，尽管统计数字表明，乘飞机要比坐汽车安全得多。人们害怕核能，尽管更多的人因煤炭而残疾或丧命。每年有1000名美国人死于意外触电，但摇滚明星们没有发起活动来降低家居电压。人们鼓噪着要禁止杀虫剂残余和食品添加剂，尽管它们与植物为了阻止虫子吃掉自己而进化出的数千种自然致癌物相比，致癌的风险微乎其微。
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人们觉得如果轮盘在一排中黑的那里已经停下过6次，它就该在红的那里停了，尽管轮子没有记忆，每次旋转也都是独立的。一大批自封的预言家形成一个产业，在股票市场的随机游走中产生幻觉倾向。篮球迷们相信篮球运动员在“手热”的时候，投篮命中率如有神助，尽管他们空心入框和打板弹出的接连顺序其实与掷硬币也没什么两样。
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下面这个问题是提给哈佛大学医学院的60名学生和员工的：“如果对一种发生率为1/1000的疾病检验呈现阳性的错误率为5%，一个人被发现有阳性结果而事实上也罹患这种疾病的概率是多少，假定你对这个人的症状一无所知的话？”最常见的回答是0.95。回答的平均值是0.56。正确答案是0.02，只有18%的专家猜对了这个答案。根据贝叶斯定理，这个答案可以用发生率或基本率（1/1000）乘以检验的敏感性或击中率（检验呈阳性的患者比例，假定为1），再除以阳性检验结果的整体发生率（检验结果呈阳性的情况下，分别相对于病人和健康人患该病机会加总的百分比——也就是说，检验呈阳性的患病者1/1000×1和检验呈阳性的健康人999/1000×0.05之和）。这个问题的令人头痛之处在于，许多人把“错误的阳性比率”误解为健康人中呈阳性结果的比例，而没有解释为呈阳性检验结果的健康人比例。但最大的问题是人们忽视了基本率（1/1000），这个比率本应当提醒他们这种疾病非常罕见，因此对于某个患者而言，即使检验结果呈阳性，也不大可能患有该病。他们很显然犯了“因为斑马有马蹄声，所以马蹄声暗示着斑马”这样的谬误。调查显示，当病人对于一种罕见疾病的测试呈阳性时，许多医生常会无必要地吓唬这些病人。
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来试试这个问题：“琳达31岁，单身，为人坦率，非常聪明。她的专业是哲学。作为一名学生，她非常关注歧视和社会公正方面的问题，她还参与了反核武器的示威活动。琳达是一名银行出纳员的概率是多少？琳达是一名银行出纳员而且积极参与女权主义活动的概率是多少？”人们有时把“她是一名女权主义银行出纳员”的概率比“她是一名银行出纳员”的概率估计得还要高。但“A且B”比单独“A”的概率还要高，这是不可能的。
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当我在课堂上讲授这些研究发现时，一个学生大声说：“我真为我所属的物种而感到丢脸！”其他人也感到了这种羞愧，如果不是为他们自己的话，那就是为街上的路人。特沃斯基、卡尼曼、古尔德、皮亚泰里·帕尔马里尼，还有许多社会心理学家都得出结论，认为心智并没有被设计为掌握概率法则，尽管这些法则和规律支配着宇宙。大脑能够处理有限量的信息，所以它没有来计算定理，而是使用粗略的经验法则。
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一个法则是：一个事件越令人记忆深刻，它就越可能发生（我能记得最近一次恐怖的飞机失事，所以飞机不安全）。另一个是：一个人越类似于一种刻板印象，他就越可能属于那种类别（比较我对于银行出纳员心理意象的符合程度，琳达更符合我对于女权主义银行出纳员的心理意象，所以她就更可能是女权主义银行出纳员）。有着渲染性标题的畅销书籍对坏消息的传播更加推波助澜：《非理性：内心中的敌人》《注定的幻觉：理性的错误如何控制我们的心理》《我们如何知道不是如此：日常生活中人类理性的谬误》。我们作为直觉统计学家的不称职解释了人类愚蠢和偏见的沮丧历史。
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特沃斯基和卡尼曼的论证是心理学中最发人深省的研究之一，这项研究还使人注意到我们对社会和个人风险的公共讨论，其知识水平之低下令人沮丧。但在一个概率的世界中，人类心智真的对概率这么不在意吗？对于人们常会搞砸的问题，其解决方法可以在一个廉价计算器上敲几个键就算得出来。许多动物，甚至蜜蜂，在它们觅食时都能计算精确的概率。这些计算真的超过了有数以兆计突触的人脑的信息处理能力了吗？这难以让人相信，人们也不必相信它。人们的理性不像它最初看起来的那么傻。
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首先，许多风险选择不过就是选择，这毋庸置疑。以赌徒、飞机恐惧者和化学物质远离者为例，他们真的不理性吗？有些人在等待那些能彻底改善他们生活的事件结果时，感到很愉快。有些人不喜欢被困在一个筒里，然后脑子里不断充斥着一种令人恐惧的死亡方式的念头。有些人不喜欢吃蓄意掺和了毒药的食物（就像有些人大概不会选择去吃添加了无害虫子肉的汉堡包一样）。上述这些选择比起在香草冰激凌和巧克力冰激凌中选择前者来说，一点儿也没有更不理性。
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心理学家格尔德·吉仁泽（Gerd Gigerenzer）、考斯迈德斯和托比指出，即使当人们对于概率的判断远离事实时，他们的推理也可能是有逻辑的。任何心理能力都不是万能的。颜色视觉被钠汽路灯所愚弄，但并不意味着它的设计就很差。它的设计很好，在记录不断变化照明中恒常的颜色方面远超过任何照相机（见第4章）。但在这个无法解决的问题上，它对于这个世界默认的假设还有待改进。当这个假设在一个人造的世界里不再成立的时候，颜色视觉就失灵了。对于我们的概率估计器来说，情况也是如此。
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以著名的“赌徒谬误”为例：期望硬币正面的连续出现会增加硬币反面出现的机会，仿佛硬币有记忆而且希望公平一样。我还记得自己十几岁时在一次全家度假时一回丢脸的经历。我父亲说，已经连续下了几天雨使我们不能尽兴，好天气该到了，然后我纠正他，说他犯了赌徒谬误。但受困几日的爸爸是对的，是他无所不知的儿子错了。冷锋没有在一天结束时掠过地球，第二天早晨又来新的冷锋。云的覆盖一定有一般的大小、速度和方向，如果一周的多云天气确实预示着云层后缘的临近和即将到来的拨云见日，这并不让（现在的）我感到惊讶，就像一列行进的火车中第100节车厢比第3节车厢更可能预示着车尾的临近。
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许多事件都像这件事一样。它们有着一段有生命的历史，一个随时间推移而发生的变化着的概率，统计学家们称之为风险函数。一个精明的观察者应当犯赌徒谬误，并尝试根据事件现有的历史来预测它下一次的发生，这种统计被称为时间序列分析。有一个例外：被设计用来导致事件独立于其历史而发生的设备。哪种设备会这样做？我们把它们称之为赌博机器。它们存在的原因就是为了挫败喜欢将模式转化为预测的观察者。如果我们对模式的热爱是拙劣的，因为随机性随处可见，那么赌博机器会很容易建造，赌徒们也很容易被欺骗。事实上，轮盘赌、老虎机、骰子、扑克和硬币都是精密的仪器；它们对制造的要求很高，但也易于被击败。在二十一点中犯“赌徒谬误”的算牌者记住发的牌，并赌它们不会很快再次出现，他们是在拉斯维加斯不受欢迎的人。
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所以在除了赌场之外的任何世界，赌徒谬误都几乎不是一个谬误。如果只是因为我们无法赢过赌博机器，就把我们对事物直觉式的预测能力称作谬误，这显然是一种因果倒置的说法。赌博机根据定义就是设计来击败我们直觉预测的。这就像说，我们的手设计不佳是因为它们难于脱开手铐。对于“手热”错觉和体育迷们的其他谬误也是同样道理。如果篮球投篮易于预测的话，我们也就不再把篮球称为一项运动了。有效率的股票市场是另一项被设计用来击败人类模式监测的发明。它的设立是为了让交易员迅速根据随机游走的偏差来利用资本，从而也就消除了这种偏差。
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其他所谓的谬误可能也是由欺骗我们概率计算器的进化玩意儿所引发的，而不是由天生的设计缺陷所导致的。“概率”有许多含义。一个是长期的相对频率。“一分硬币面朝上停下来的概率是0.5”的意思是，扔100次硬币，50次会是面朝上。另一个意思是对于单个事件结果的主观置信。从这个方面讲，“一分硬币面朝上停下来的概率是0.5”的意思是指在0到1的刻度上，你对扔下一次面朝上的置信是在确定它会发生和确定它不会发生的中间值。
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