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然而，客观可能性需要理论计算或观察考量，第二种可能性——主观可能性——它是无法计算也无法考量的。在这种情况下，我们使用“可能”这个词语来表达对未来事件的主观自信。例如，如果我说下周五我有90%的可能性会参加苏珊的聚会，这并不是基于我之前的计算或是任何其他人的概率——这种事件根本无法计算；相反，这是基于我对这一结果的自信。这种说法看起来很准确，但实际上根本不存在任何准确性。
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所以，尽管这两种可能性中一种是主观的，另一种是客观的，但没有人会注意到其中的差别——我们每天都会使用可能这个词语，盲目地使用它，将两种不同的可能混为一谈。
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当我们听到这些话：“有60%的可能性两国的冲突将会升级为战争”或者“有10%的概率，某个野蛮的国家会在未来10年内引爆原子武器”，这些都是对第一种可能性的计算；我们还有第二种可能性的主观表达，说话者对某一事件发生的可能性的自信。第二种事件并不像第一种事件那样是可重复的。与榆树街发生火灾或玩扑克不同，它们是无法计算或考量的。世界上并没有那么多有相似原子武器的野蛮国家可以供我们做出计算。在这种情况下，当有学问、有知识的观察者谈及可能性时，他们实际上只是在猜测。由于这些事件存在主观性，所以某些专家通常不赞成这样的可能性。
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连续拿到两次大王的概率几乎为零。为什么呢？我们可以通过将两个事件的概率相乘得到两个事件同时发生的概率。第一次从一整副扑克中拿到大王的概率为1/52，第二次从一整副扑克中拿到大王的概率也为1/52（如果你将第一次拿到的大王再放回去，凑成整副牌）。那么1/52×1/52=1/2704，那么掷硬币中连续3次转到字的概率就是将每个事件的概率1/2乘以3次：1/2×1/2×1/2=1/8。你也可以做个小小的实验，投掷硬币多次，得到连续3次字。从长远来说，你得到连续3次字的概率为1/8。
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这种乘法运算成立的前提是：这些事件必须是独立的。也就是说，第一次卡牌与第二次卡牌必须是独立的，互不影响。如果我们已经洗了牌，这个结果一定是正确的。当然，某些事件并不是互相独立的。如果你将第一次拿到的大王放在牌底，我第二次从牌底再拿牌，这些事件就不是独立的。如果气象学家预测今天、明天都会下雨，你想知道连续两天都下雨的概率，这些事件就不是独立的，因为气象流通常需要一定时间才能穿过某些区域。如果这些时间不互相独立，数学计算将会更加复杂——尽管可能也不是那么复杂。
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我们应该仔细思考这些独立事件。被闪电击中是很少见的事件——根据美国国家气象服务中心的数据，这种概率为万分之一。所以被雷电两次击中的概率就是1/10000×1/10000（亿分之一）吗？这个结论的前提是：这些事件是相互独立的，但实际上它们可能并不是这样。如果你居住在一个经常发生雷电的地方，并且经常在雷电天气中出门，你会比居住在其他地方、采取更多预防措施的人更容易遭受雷击。曾经有人在两分钟内被雷电击中过两次，一个在弗吉尼亚公园散步的人一生中曾经被雷电击中7次。
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如果你说“我曾经被雷电击中过，所以我可以随心所欲地在雷雨天散步”，那你一定很愚蠢，因为这是没有受过教育的人才会犯的逻辑错误。几年前，一对年轻夫妇在旅行社商量订哪个航班的时候，我曾经听到过这样的对话（我确信自己没有记错）：
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艾丽斯：“我不想乘坐布兰克航空公司的航班——他们去年曾经发生过空难。”
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鲍勃：“发生空难的概率为百万分之一。布兰克航空公司的航班已经发生过空难，所以他们不会再发生空难了。”
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由于不了解布兰克航空公司空难发生的情况，艾丽斯的言论很显然构成了一个理所当然的恐惧。空难事件的发生通常都不是随机事件：这其中一定隐含着航班操作方面的隐性问题——训练不够的飞行员、粗心的机械师、老化的飞机。布兰克航空公司航班连续发生两次空难不应该被视为独立事件。鲍勃使用的是“直觉推理”，而不是“逻辑推理”，这种推理就像你说“曾经被雷电击中过，所以不会再被雷电击中”一样。按照这种错误的伪逻辑，你可以想象鲍勃会这样想，“飞机上有炸弹的概率为百万分之一，因此，如果带一枚炸弹上飞机，飞机上有两枚炸弹的概率就会大大增加”。
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尽管空难是独立事件，但是仅仅凭借“它已经发生过”而断定不会再发生，就会陷入赌博的谬论，认为目前就是最安全的航班。这种概念不能保证下次空难之前已经有了100万次航班，也无法保证下一次空难会在所有的航班中均匀分布。所以，任何一家航空公司连续遭遇两次空难的事件都不能视为独立事件。
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客观获得的可能性也不是一种保证。尽管从长远来看，我们会认为一枚硬币出现字的概率为50%，但可能性并不是一个自己会纠正的过程。硬币没有记忆、知识、意志力和意愿。没有任何一种可能性的理论能确保每件事都会像我们所期望的那样。如果你连续10次都得到字，下一次你得到花的可能性仍然会是50%。花的可能性不会更大，也没有过期。概率会自我矫正，这个理论是赌博者谬论的一种，它已经让许多赌场老板成为亿万富翁，包括史蒂夫·永利。数以百万计的人源源不断地将钱投入赌博机，幻想他们得到回报的时机就是现在。尽管可能性会达到均衡，但这都是从长远的角度来说的。从长远来看，我们会花费所拥有的更多的时间与金钱。
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我们可能会疑惑，直觉告诉我们，连续11次得到字的概率几乎为0。这是正确的——但只是部分正确。
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这里的推理错误在于，将连续得到10次字的概率与连续得到11次字的概率混淆——事实上，两者并不是完全不同的。连续10次得到字后的第11次，出现字和出现花的概率是相等的。
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我们人类天生不擅长构造随机序列。当我们被要求生成随机序列时，相较于实际随机序列，我们倾向于写下更多轮替（字—花—字—花），我们很少会写出连续序列（字—字—字）。在一次试验中，测试者被要求写下抛掷100次硬币的随机序列。几乎没人写下连续7次相同面的序列，尽管在100次抛掷中，出现这种序列的概率会增加一半。直觉会让我们在短的序列中将得到正反两面的概率分摊，尽管稳定的五五概率通常需要在长序列中才能出现——数以百万次的硬币抛掷中。
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我们需要压制这种直觉。如果你连续抛掷硬币3次，得到连续字的概率确实是1/8。但是我们会被事实迷惑，我们观察到的只是短的序列。平均来说，我们只需要抛掷14次就能够得到连续3次字；如果我们抛掷100次硬币，至少出现一组连续3次字的概率将超过99.9%。
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我们会陷入这种思维逻辑——思考序列中可能性的改变——某些情况下，可能性确实会变。确实是这样！玩扑克牌时，你一直在等着A的出现，等待的时间越长，A出现的概率就越大。当已经出现了48张扑克牌的时候，下一张牌为A的概率为1（剩下的所有的牌都是A）。如果你正在寻找上一个暑假所看见的那种果树，每次没能找到果树都会增加你下一次找到果树的概率。除非你停下来仔细思考，我们常常会将这些不同的可能性模型混淆。
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我们感兴趣的许多事情都曾经发生过，所以我们才能经常估算出它发生的概率。事物的基础概率就是它出现的背景概率。我们中的大多数人都会有这种直觉：如果你的汽车发动机出现杂音，你将它送到维修厂，机械师可能看都没看就会说：“很可能是同步带出现问题了——我们遇到的情况中有90%都是这种问题；也可能是喷油嘴的问题，但喷油嘴几乎很少出错。”这位机械师使用的正是信息预测基本概率。
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如果你被邀请参加苏珊家的某个聚会，聚会中有一大群你从未见过的人，与你最后谈话的人是医生而不是总统内阁成员的概率有多少？医生的数量显然多过内阁成员的数量。医生的基数更大，所以，如果你对这次聚会一无所知，肯定会猜测在聚会上会遇见更多的医生。同样，如果突然头痛或者感到焦虑，你也许会担心自己患上脑瘤。无法解释的头痛实际上是很常见的，但脑瘤不是。医学诊断上有这样的老生常谈：“当听到蹄声时，会想到是马的蹄声，而不是斑马的。”也就是说，当我们有某种症状时，不要忘记基础概率。
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认知心理学试验已经告诉我们，做出判断和决定的时候，我们通常会遗忘基数，反而会相信医学术语。在苏珊的聚会上，如果与你谈话的人衣服上有美国国旗翻领胸针，很懂政治、被美国特工处追踪，那么你会认为她是一位内阁成员，因为她拥有内阁成员的所有特质。但是你忘了基础概率。全美一共有85万名医生，但仅仅只有15位内阁成员。在这85万名医生中，一定会有人佩戴美国国旗翻领胸针、懂政治，甚至出于某种原因会被美国特工处追踪。例如，第111次国会的时候，内阁成员中有16位医生——比内阁成员中其他职业都要多。还有一些医生在军队、联邦调查局、中央情报局工作，肯定会有医生的配偶、父母、孩子是高级公务员——其中的某些人需要采取保密措施。85万名位医生中，可能有人需要安全许可，或者出于某种原因牵涉到特工处，从而需要参与调查。这种推理错误是如此的根深蒂固，它甚至有个名字——代表性启发法。它的意思是某些有代表性的人或情形会有效压倒我们大脑的推理能力，让我们忽视数据或基数信息。
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在某篇论文的经典试验中，你需要阅读某个场景。你被告知，在某个特定的大学，10%的人是工程师，90%的人不是工程师。你参加一个聚会，看见某人穿着塑料防护服（不用说，许多人都认为这种打扮是工程师的典型形象），你被要求猜测那个人是否是工程师。许多人都认为他是工程师。防护服是如此典型，确凿证据，很难让人想到那个人会从事其他职业。但我们需要考虑这样一个事实：这所大学很少有工程师。也许这个人是工程师的概率不会与基础概率一样低——10%，但它肯定也不会有100%那么高——其他人也会穿防护服。
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这就是有趣的地方。研究者然后设置了相同的情形——一所大学的聚会中，10%的人都是工程师，90%的人都不是工程师——然后试验人员解释道：“你会遇见某个穿防护服的人，也可能遇见某个不穿防护服的人，但是你无法分辨他们，因为他们都穿着夹克。”当试验人员要求猜测某个人是否为工程师时，测试者通常会说“一半一半”。被问及原因时，他们回答说，“他也许穿着防护服也许没有——我们不知道。”这里，人们再一次犯了将基础概率考虑进去的错误。如果你对那个人一无所知，那么他是工程师的概率为10%，而不是50%。只有两种选择并不意味着这两种选择出现的概率是相同的。
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再举一个更直观清晰的例子。想象一下你在家附近的超市散步，突然撞上某个人。她可能是伊丽莎白女王也可能不是。但她是伊丽莎白女王的概率有多大呢？大多数人都不会认为这是一半一半。女王出现在超市的概率有多大？更不用说她是我们所撞见的那个人。当可能性较小的时候，我们的大脑会打结。做决策需要我们将基础概率信息与其他相关诊断信息结合。这种类型的推理由数学家兼长老派牧师托马斯·贝叶斯发现，因此以他的名字命名：贝叶斯定理。
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贝叶斯定理让我们得以修正预测。例如，我们读到“大致一半的婚姻最终都会离婚”，如果我们了解更多信息，例如年龄、宗教、涉及人群的位置，我们就可以修正预测，因为一半的数据都是针对某个群体的，一些地区的离婚率肯定高于其他地区。
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还记得那个有10%的工程师、90%非工程师的聚会吗？一些其他信息可以帮你预测某个穿防护服的人是否为工程师的概率。也许你知道聚会的主人与某个工程师已经绝交，她不会再邀请工程师；也许你知道医科大学预科学生中50%都会穿防护服。这样的信息能让我们用新的信息更新原始基础概率。定量更新后的可能性是贝叶斯定理的一种应用。
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