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2. 很明显x=x
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3. 两边取平方x2=x2
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4. 两边同时减去x2x2–x2=x2–x2
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5. 因式分解x（x–x）=（x+x）（x–x）
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6. 消掉相同的因式（x–x）x=（x+x）
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7. 即x=2x
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8. 由x=1，得1=2
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关键在于两边除以（x–x）那一步，这个除数是0。第5行x（x–x）=（x+x）（x–x）是正确的，其含义是1乘以0等于2乘以0，但是由此不能推出1等于2，因为任何一个数乘以0等于任何一个另外的数乘以0。
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在谬误型的悖论中，悖论是一个假象。一旦你发现了其中的错误，一切就都恢复正常了。也许所有悖论在本质上都是这样。即使错误不像上面的例子中的那样明显，但错误仍是存在的，把错误揪出来，悖论就消失了。
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如果所有悖论都是这样，证实理论和认识论就简单而无趣多了。我们并不关心简单的谬误。事实上，许多悖论是成立的，并且会引起混乱。
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威力较大的悖论通常表现为思想实验的形式（思想实验可用德语词“Gedankenexperiment”来表示）。思想实验展示了某种可以被设想但难以实际达到的状态，以形象的方式揭示某些我们习以为常的观点可能导致的荒谬结果。
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伽利略（Galileo Galilei）设计过一个思想实验来证明较重的物体下落的速度并不大于较轻的物体，这个思想实验是最简单并且最成功的思想实验之一。假设一个10磅（约4.536千克）的铅球比一个1磅的木球下落速度快（在伽利略的时代这是主流观点）。我们用一根绳子把两个球系在一起，从高处抛下来。由于木球较轻，它会在后面拖着铅球，并把绳子拉紧。一旦达到这种状态，木球开始在铅球的拉力下下落，于是我们得到一个重量为11磅的整体。这个整体比单独的一个球更重，所以其下落速度应当超过任何一个球单独下落的速度。然而，一旦绳子被拉紧，整体下落的速度将加快，这是否可信？虽然这不是完全不可能的，但已经足以令我们对最初的假设产生怀疑。这个思想实验不同于大多数的思想实验，它很容易进行实际操作。伽利略把重量各异的物体抛下来，结果发现它们下落的速度相同（与传说不同的是，实验地点并不在比萨斜塔上）。当然，今天我们在伽利略的思想实验中已经看不出丝毫具有悖论性的东西了，因为重力加速度与重量无关的知识已经深入人心。
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另一个著名的例子是“孪生子悖论”，这个例子的悖论性更为尖锐。相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。设想有一对孪生兄弟，其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。当去天狼星的那个人回来后，根据相对论，此人将发现他比自己的孪生兄弟年轻许多——不论是根据日历表的显示、他们皱纹的数量和头发灰白的程度、对时间流逝的主观感受，或是任何一种我们所知的定义时间的物理手段，结论都是他更加年轻。
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在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突是如此之剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家亨利·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论来证明相对论是错误的。在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终年龄相同。
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今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实——当然，实验品不是孪生兄弟，而是极其精确的时钟。1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计了一个实验，把铯原子钟装进喷气式客机里进行环球飞行。这个实验证明，当飞机上的乘客回家时，他们要比其他同龄人年轻一个微乎其微但可以测量的瞬间。如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比待在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家会怀疑这个结论。
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这个悖论根源于对世界运转模式的错误假设，而非逻辑方面的错误假设。孪生子悖论有一个隐含前提：时间是统一的。而悖论表明这个前提是不可靠的，所以常识是错误的。比如，你可能认为，世界上没有长皮毛的是卵生哺乳动物，但是鸭嘴兽是一个反例——可以说这是一个活生生的悖论。“长皮毛的哺乳动物不产卵”这个常识当然不具备逻辑必然性，“时间与观察者的运动无关”亦然。
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由此我们总结出悖论的第二种类型：挑战常识型悖论。在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，而且解决方法是明显的：必须放弃原来的假设。无论最初的假设在认知体系中是多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾就会迎刃而解。
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还有一类更强大的悖论，这类悖论性最强的悖论是难以被解决的。谬误型悖论和挑战常识型悖论都无法与之相比。
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在真正的悖论中，“说谎者悖论”是一个非常简单的例子。这个悖论是公元前4世纪的希腊哲学家欧布里德（Eubulides）发明的，但是它经常被错误地归功于埃庇米尼得斯（Epimenides）——后者只是一个虚构的代言人（就像柏拉图《对话录》中的苏格拉底[3]）。克里特人埃庇米尼得斯曾宣称：“所有克里特人都是说谎者。”为了把这句话转化为一个严格意义上的悖论，需要做一点儿有趣的转换，把“说谎者”定义为只说假话且从不说真话的人。于是，埃庇米尼得斯的话基本上相当于“我正在说谎”或“这句话是假的”。
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我们来分析“这句话是假的”这个版本。这个语句是真的还是假的？如果“这句话是假的”为真，那么它陈述的内容就是真的，但是它说的就是这个语句是假的，于是得出这个语句就是假的！
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既然如此，这个语句必须为假。然而，如果“这句话是假的”为假，它就必须是真的。于是，我们建立了两条归谬推理：如果它是真的，将推出它是假的，所以它不可能是真的；另一方面，如果它是假的，将推出它是真的，所以它也不可能是假的。这个悖论是本质性的，难以消除。
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在第三类悖论中，我们不清楚哪个前提应当（或可以）抛弃。这些悖论仍然悬而未决。本书将要讨论的悖论至少属于第二类，大多数属于第三类。需要提醒读者的是，这些悖论目前（指本书成书前后）基本上没有公认的解决方案。
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最好的悖论能展示出这样一些问题：什么样的矛盾可能发生？什么样的不可思议之事是有可能发生的？阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges，1899~1986）在他的短篇小说中揭示了大量此类问题，他的著作对于所有悖论爱好者都是有吸引力的。在《特兰，乌克巴，奥尔比斯·特尔提乌斯》[4]中，博格斯描述了一部百科全书，此书是一群学者精心炮制的恶作剧，却被当成来自另一个世界的著作。这些学者甚至设计了那个虚构世界中的悖论，但是在其他世界的人看来，特兰人的悖论不过是平淡无奇的事情。特兰人最伟大的悖论是“九枚铜币”：
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星期二，当走过一条荒芜的路时，他丢失了九枚铜币。星期四，y在这条路上找到了四枚铜币，因为星期三下雨了，铜币有些生锈。星期五，Z又在这条路上找到了三枚。星期五上午，在他家的走廊里找到了两枚……特兰人的语言无法明确地表达这个悖论，大多数人甚至无法理解其中有何矛盾。最初，常识的捍卫者为了反驳这个悖论，只是简单地否认这个故事发生的可能性。他们强调，这只是一个语言上的错误，根源在于错误地使用了两个动词：“找到”和“丢失”。这是两个未经实际使用检验的新词，但是这个悖论仓促地应用了这两个词，而任何严格的考察都反对应用这两个词。这两个词造成了混乱，因为“找到”和“丢失”预先假定了最初丢失的九枚铜币就是最终找到的九枚铜币。他们援引“所有名词（人，硬币，星期四，星期三，雨）都仅仅符合比喻性的用法”这一原则，驳斥了“因为星期三下雨了，铜币有些生锈”这个离经叛道的陈述，因为这个陈述依赖于一个预先假设：在星期二和星期四之间这四枚铜币是持续存在的，但是这个预设本身恰好就是这个论证想要证明的。他们解释说，数量“等同”不等于东西本身“相同”，并且设计了一个归谬推理加以阐述：假如有九个人，在连续几个晚上他们都感到强烈的疼痛，如果我们说疼痛只有一个、是相同的，那岂不荒谬？……令人感到不可思议的是，以上反驳竟然不是终极判决……
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在特兰人的思想中，“九枚铜币”是真正的悖论，无法彻底消解。一个有趣的设想是，也许在另一个世界的居民看来，我们的悖论也是平庸陈腐的事实。那么，悖论究竟存在于“我们的头脑中”，还是建构于统一的逻辑结构中呢？
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