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我们分别用A和B表示两个光点。如果A是物质飞船而B是反物质飞船，或者A是反物质飞船而B是物质飞船，在这两种情况下都会发生湮灭（两种情况相互排斥）。第一种情况发生的概率是20%乘以10%，即2%；第二种情况发生的概率是10%乘以20%，也是2%。由于两种情况相互排斥，所以湮灭发生的总概率为2%加上2%，即4%。
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博彩公司根据这种方法计算出的概率设置对下注者的赔率。现在假定有一个太空探险家回到地球，他的飞船在太空中曾经和对象A发生摩擦，这种事故发生的概率只有一万亿分之一。此人知道对象A是一艘飞船，而且肯定是由正常物质构成的（因为他们接触时没发生爆炸）。这个探险家回到地球后，算出了A和B将发生湮灭的概率，并据此在拉斯韦加斯下注。
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他在下注时会充分利用自己的“内部消息”。他知道对象A是一艘飞船这一事实，而所有其他人则以为A可能（概率为70%）是一颗小行星或其他自然物。已知A是一艘正常物质飞船，而B是一艘反物质飞船的概率是10%，所以发生湮灭的概率为10%。赌博公司认为概率为4%，而探险家利用更加完备的信息得出的概率为10%。
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接下来，假定另一个太空探险家曾经和对象B出过一场事故，从而验证了B是一艘物质飞船，情况又如何呢？第二个探险家当然可以做出与第一个探险家完全相同的推理，并得出结论：发生湮灭的概率将从4%飚升到10%。但是，把两个探险家的信息合并考虑，结论是湮灭根本不可能发生。已知信息已经表明，两艘飞船都是由与地球相同的物质构成的，这意味着发生湮灭的概率是一个大大的0！
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绝对证实和递增证实
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让我们分别来看两个证据（两个探险家曾与飞船接触），它们都对将发生湮灭的假说提供证实，但是把两个证据放在一起却推翻了假说。在我看来，这是一个反常，而非悖论，因为这种奇怪的转向无疑是可以存在的。各方——包括博彩公司、探险家以及了解两个探险家经历的我们——所做的概率计算都是合理的，证实理论家已针对此类奇异的现象进行了细致的研究。
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奇异性部分来自语义。“证实”这个词有两种含义。在日常语言中，我们通常在“绝对”的意义上使用“证实”这个词，表示某事已经最后确定，再无合理质疑的余地。“老板证实桑德拉获得加薪”，这句话意味着，无论在此之前我们有多少疑问，现在我们百分之百地肯定桑德拉获得了加薪。
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但实验极少为假说提供“绝对”证实。科学家和证实理论家经常在“递增”的意义上使用“证实”这个词，这种意义上的证实意味着“为某事提供证据”或“增加某事的概率”。我们提到概率，这是因为对概括陈述的证实总是不确定的。
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我们可以对不大可能为真的假说提供递增证实，在证实之后，假说依然不大可能为真。对于“老板证实桑德拉获得加薪”这样的语句，我们不会解释成“老板的话使得桑德拉获得加薪的概率从15%增加到18%”，但是在科学研究中，这类证实却是典型的。
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在递增证实中，与飞船湮灭问题类似的反常情况很普遍。每个探险家的信息使得湮灭发生的低概率（4%）上升，但上升后依然是低概率（10%）。把两个信息合起来，则把概率降为0。令人感到欣慰的是，当概率值更高，且对假说的证实更接近于绝对意义上的证实时，这种反常不会出现。
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为了展示这个结论，我们对概率值做一点儿调整，重新规定整个场景，令博彩公司对实际情况的了解更加充分。每个对象有10%的概率为自然现象，有80%的概率是物质飞船，另有10%的概率是反物质飞船。于是，博彩公司对发生湮灭的计算是“80%乘以10%”加上“10%乘以80%”，即概率为16%。每个探险家已确知一个对象为物质飞船，利用这条信息算出的湮灭发生的概率为10%（和原来的例子一样），这个值等于另一个对象是反物质飞船时算出的概率。现在，每个探险家的估值都低于博彩公司的估值。事情就应该是这样，因为两个探险家对实际情况的了解多于博彩公司，而实际情况是，湮灭发生的概率为0。
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反例
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从前文中可以看出，证实只是两种可能性中的一种。证据不仅可以证实假说，也可以反驳（或否证）假说。著名科学哲学家卡尔·波普尔爵士（Sir Karl Popper）特别强调反驳的重要性。
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也许你会认为，证实和反驳不过是同一个问题的两种表述方式，就好像面对半杯水，你可以说杯子里装了半杯水，也可以说杯子里有一半没装水。其实不然。在证实和反驳之间有一种不对称性：反驳一个概括陈述要比证明它容易得多。
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所谓“反例”，是指针对某个假定的规则的例外。例如，对“所有乌鸦都是黑色的”这一猜想，一只白乌鸦就构成一个反例。一只白乌鸦不仅会降低猜想为真的可能性——它还将彻底推翻这个猜想。逻辑学家称之为“否定后件式”（“modus tollens”或“Denying the consequent”）。
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“反例”在实际应用中的情况极少如此简单。例如，对于“不存在尼斯湖怪兽”这一假说，已经涌现出许多“反例”——许多人声称目睹了尼斯湖怪兽。然而，大多数科学家依然相信尼斯湖怪兽并不存在。显然，并非每一个所谓的反例都足以推翻一个在其他方面已经获得证实的假说。
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许多假说处于人们当前既有知识的边缘，只有在许多附加的辅助性假说得到检验的前提下，原假说才能得到检验。辅助性假说是一些背景性的假设，在这些背景假设的基础之上，我们才能讨论原假说与现有的知识体系如何匹配的问题；还包括显微镜、望远镜以及其他的检验所必需的设备如何工作的假设，等等。这些辅助性假说的存在经常使得“否定后件式”不能即刻生效。
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韦斯利·萨蒙引用了一个精妙的案例，在此例中，两个类似的范例分别导致辅助性假说和原假说被推翻。牛顿的引力理论预言了行星的未来运动。在19世纪，大家发现牛顿理论关于天王星轨道的预言始终存在微小的偏差。
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有些天文学家怀疑，在天王星轨道之外有一颗未知的行星导致了这种偏差。1846年，这颗未知行星（即海王星）被发现，牛顿理论不仅摆脱了质疑，而且还得到了加强。海王星为牛顿理论提供了进一步的证据。
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大致与此同时，水星轨道上的某些不规则现象也引起了人们的关注。天文学家们同样试图在水星附近找到一颗行星来解释这种不规则。法国业余天文学家莱斯卡波特（D. Lescarbault）于1859年报告，他在水星轨道内发现了一颗行星。勒维耶（Urbain Jean Leverrier，海王星的共同发现者之一）[4]相信这颗行星确实存在，并将之命名为“伍尔坎”（Vulcan）。然而，后继的观测者无法观测到这颗行星，他们很快认定这是一个假发现。水星依然游离于计算轨道之外，其偏差不是随机的，而是有规则的，明显不符合 （建立于牛顿的万有引力之上的）开普勒定律的预测。
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在此例中，偏差最终被认定为反驳牛顿引力理论的证据。水星轨道的移动是证实爱因斯坦广义相对论的最早证据之一。
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海王星和伍尔坎的历史展示了反例的两个特征。其一，一个反例有可能驳倒一条辅助性假说而不威胁原假说。鉴别出辅助性假说和原假说这二者之中哪一个有误是重要的。通常有很多理由令我们相信，立刻构成反驳是罕见的。其二，当一种理论被抛弃时，如果一种新理论既能像原理论一样做出许多成功的预言，又能包含更广泛的内容，则这个新理论就居于有利地位。在太阳系的典型环境下，爱因斯坦广义相对论对引力效应的预言与依照牛顿理论的推测完全相同，只是牛顿理论更加简单。只有在引力场非常强的情况下，两种理论才会出现分歧。在诸行星中，水星距太阳最近，引力效应最为明显。看来只有水星不服从牛顿法则的约束。
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新奇的理论
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新理论不仅应当能解释它将要取代的旧理论做出的预言，而且应当提供它自己的独特的新预言。用卡尔·波普尔的话说，新理论必须包括更多的“经验内容”。与旧理论相比，新理论必须在更多的经验领域做出更具有可检验性的预言。
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