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查理是说真话的。
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以上三个命题是对整个情景最基本的描述，它们构成了这个问题的逻辑结构的原子，不存在比它们更基本的命题。这三个命题不是我们已经确知的事实，它们只是我们构造出来的或真或假的命题，因此，它们的地位非常类似于代数中的变量。当然，这些语句的“值”可以是“真”，也可以是“假”。用逻辑学术语说，这些命题是“布尔变量”，这个术语得名于英国逻辑学家乔治·布尔（George Boole，1815~1864）。
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在这个逻辑问题中，我们首先问了艾丽斯一个问题。但是，艾丽斯的回答我们听不懂，我们从中推不出任何有效信息。
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第一个有效信息来自本。本说艾丽斯称自己是说谎的。你很可能已经想到了，我们不能按照该句的表面意思接受这个命题。本在转述艾丽斯的话时可能在说谎，艾丽斯本人在介绍自己的情况时也可能在说谎。只有在确定了三个人分别属于哪个部落之后，也就是说，只有在确定了谁说假话、谁说真话以后，本的话的真正意思才可以确定。
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我们分析一下。艾丽斯和本不可能都说真话。如果他们都说真话，那么艾丽斯会诚实地说她是说真话的，而本也会诚实地把艾丽斯的话翻译给我们。由于本说艾丽斯称自己是说谎的，因此我们得出结论，这两个人并非都说真话。
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艾丽斯和本有可能都说假话吗？有可能。当我们问艾丽斯她是否说谎时，她会回答说她不说谎。本也是嘴里没有一句真话的撒谎精，他会对艾丽斯的话加以否定，这样就形成了双重否定。本会说艾丽斯称自己是说谎的。我们听到他就是这么说的。
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实际上，没有人会说“我是说谎的”。说真话的人不会这样说——因为这是谎话；说谎话的人也不会这样说——因为这是真话。如果直截了当地问一个人是否说谎，每个人都会说自己是说真话的（在现实生活中也是如此）。
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本说艾丽斯称自己是说谎的，这句话彻底暴露了他自己。无论艾丽斯实际上属于哪个部落，她一定会说自己是说真话的。本的话与此相反，所以本是说谎话的。
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（如果艾丽斯根本没听懂我们的问题，又会怎么样呢？她很可能会说“我听不懂英语”，或者相反，“我能听懂英语”——如果她是说谎话的。本会向我们报告其中的一个反应，如果本是说谎的，他会给我们一个错误的答案。由于说谎者部落如此缺乏想象力，从本的实际回答我们得知，艾丽斯一定已经听懂了问题，并且做出了一个关于她的部落归属的回答。）
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由于本是说谎的，他的第二句话 （“查理是说谎的”）一定也是假的。因此，查理一定是说真话的。
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下面只剩查理的话了。查理说艾丽斯是说真话的，我们已经知道查理是说真话的，所以这一定是实际情况。答案是，艾丽斯说真话，本说谎话，查理说真话。
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在以上解题过程中是否存在什么方法？是的，的确有一些方法。没有人会说自己是说谎的，意识到这一点是有用的。这就揭示了本是说谎的，而后问题迎刃而解。
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但是这个方法（假定我们称之为“方法”）不能应用于全部的、任意的“说真话—说假话”问题。例如，雷蒙德·斯穆里安提出的一个简单而新颖的问题：有一个部落归属不明的人说：“或者我是说谎话的，或者2+2=5。”那么，他属于哪个部落？
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在这个例子中，当事人没有说自己是说谎话的。他把两个命题用“或者”联系起来，这意味着，如果说话者是说真话的，那么这两个命题中至少有一个是真的。
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关于说话者我们可以提出两种可能的假设：他是说真话的，以及他是说谎话的。如果说话者是说真话的，那么他所说的就是真的。因此，“或者说话者是说谎话的，或者2+2=5”这个命题就是真的。
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但这是不可能的。在“或者……或者……”的复合命题中，整体为真，则两个子命题中至少有一个为真。“2+2=5”不可能为真，所以“我是说谎话的”这个子命题必须为真，而这与假定（说话者是说真话的）矛盾。
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于是，我们尝试另一个假设。假定说话者是说谎话的。于是，“或者说话者是说谎话的，或者2+2=5”这个命题是假的，其中的两个子命题必须都是假的。如果其中有一个子命题是真的，那么由“或者……或者……”构成的整个复合命题就是真的。因此，判定“或者A或者B”为假等于判定“A和B都是假的”。如果说话者是说谎话的，那么“我是说谎话的”和“2+2=5”这两个命题必须都是假的。可是我们又遇到了一个矛盾。如果说话者是说真话的，那么他必须是说谎话的；如果说话者是说谎话的，那么他又必须是说真话的。
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事实上，斯穆里安提出的这个谜题是说谎者悖论的一个巧妙的变种。这个谜题的“答案”是：答案不存在。（或者用斯穆里安的话说，唯一能够得出的结论是：这道题的出题者不是说真话的。）
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有一个方法可以应用于任何“说真话—说假话”问题，即使无解的问题（就像斯穆里安提出的问题那样）也不例外。对于任意一个问题中提到的海岛居民，无非有两种可能：他属于说真话部落或者属于说谎话部落。我们把关于每一个海岛居民的部落归属的一个猜测称为一个“完全假说”（例如，“艾丽斯说真话，本说谎话，查理说真话”是一个完全假说）。对于任意一个问题，关于海岛居民的完全假说的数量是固定的（在古德曼的问题中，其数量是2×2×2=8）。我们需要做的全部工作就是，列出所有这些假说，看看哪个假说与题中的命题相符。
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在验证各个完全假说的过程中，我们的目标是找矛盾，换句话说，我们在使用归谬法。例如，在古德曼的问题中，有一个完全假说是三个人都说真话，这个完全假说导致一个结论：本会说出他不应当说出的话。这是一个矛盾，于是我们可以排除这个完全假说。把全部8个完全假说检验一遍，我们发现只有一种情况不导致矛盾：艾丽斯、本和查理分别说真话、谎话、真话。通过排除法，此题得到解决。
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在《四签名》（The Sign of Four）中，福尔摩斯说道：“我跟你说过多少遍了，在我们排除了所有不可能的情况以后，剩下的情况——无论多么不可思议——一定是真的。”应用排除法可以解决许多类型的问题，但它并非总是切实可行的。
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麻烦在于，排除的过程是缓慢的，这是因为需要检验的完全假说数量经常是无比巨大的。
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一个布尔变量只能是真的或假的。对于一个未知量来说，有两种可能性。每一个未知量使得完全假说的总量倍增。在涉及三个未知的布尔变量的问题中，可能的完全假说的数量是23=8。一般地，当存在n个或真或假的未知量时，有2n个可能的完全假说。如果一个“说真话—说假话”问题牵涉24个海岛居民，完全假说个数将有上百万。
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可满足性
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