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图论研究的不是表示股票市场的平均值或者年降雨量之类的图。图论所研究的图是由点构成的网络，点之间还有线相连，就像我们在机场见到的航班线路图。线是直是弯无关紧要，点和点的相对位置也不重要。整个网络结构中唯一重要的拓扑性质是——哪些点之间有线相连。所有这些点和线都非常正确，但是它们并没有说明为什么这种性质是重要或有用的。从更广的意义上说，图论是关于元素之间的关系或联系的研究。
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电梯问题很容易转换成图。把6个人表示为点（如图）。在任意两点之间，我们可以画一条线表示二者之间的关系。用黑线表示两个人互相认识，用灰线表示两个人互相不认识。三个人互相都认识表现为一个黑色三角形；三个人互相都不认识表现为一个灰色三角形；是否有可能在所有点之间画线以保证黑色三角形和灰色三角形都不出现？
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证明的过程很容易理解。从A开始。我们从A出发画出5条线，分别代表这个人与电梯里的另外5个人认识或不认识。无论如何，其中至少有3条线同色。这是因为，一共有5条线和2种颜色，最均匀的分配方案是一种颜色3条而另一种颜色2条，否则将有4条（甚至5条）线同色。
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我们不知道，A是至少认识三个人（黑线），还是至少不认识三个人（灰线）。讨论第一种可能性。假定三条黑线把A与C、D、E连接起来，那么，在C、D、E之间，线的颜色如何呢？
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如果C、D、E之间存在一条黑线，则产生一个全黑的三角形，也就是说，有三个人互相都认识。为了避免全黑的三角形出现，唯一的办法是令C、D、E之间的线都是灰色的。但是这就产生了一个全灰的三角形，也就是说，有三个人互相都不认识。无论哪种情况，一定会出现三个互相都认识的人或者三个互相都不认识的人。
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如果A不认识三个（或更多）人，推理过程类似，结论一样，必然存在一个全黑的三角形或全灰的三角形。
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这不是一个逻辑问题等价于一个几何问题的唯一的例子。复杂性理论发现，许多不同类型的问题在解决程序上是相同的。
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739692]
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科学与谜题
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一条谜语、一段密码、一个拼板谜题——许多诸如此类的问题反映了科学方法的特点。通常，证实更像是解一道逻辑谜题，而非前几章讨论的归纳模式。一个简单的概括陈述可以被任何相关的观察结果证实或反驳，但是大多数科学理论则复杂得多，必须根据大量的观察结果进行评价。我们甚至不能说某一个特定的观察结果能单独地提供证实或反驳。
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请考虑“地球是圆的”这个假说。对这个假说的证实不在于汇集一大堆关于“圆的地球”的观察结果（从宇航员的视角？），而且没有反例。实际上，人们接受“地球是圆的”这个假说，是因为它联系并解释了许多先前看来无意义的经验事实。对于古代人来说，这些都是非常琐碎而且没有关联的事实：在极北之地，午夜可以见到太阳；月食发生时可以见到圆形阴影；船只离港远去时看起来就像沉于波涛之下。现在所有这些现象，都被视为“地球是圆的”这一假说的逻辑推论。这一假说解释了如此众多各不相关的观察结果，正是因为这样，它才如此令人信服。假如事实上地球不是圆的，那么只有不可思议的巧合才能使所有这些观察结果如此协调地与这些假说一致。
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这是一个更加精致的证实类型，它混合了演绎和归纳。一个能推出逻辑结论的假说，首先必须解释以往的观察结果，然后必须做出新的预言。预言如果是真的，则证实假说。归纳和演绎的相互影响是某些悖论的根源，这些悖论甚至比我们讨论过的悖论还要奇妙。
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[1]原文为“paradox of the Heap”，直译应为“堆的悖论”，但是中国学者习惯称之为“谷堆悖论”，所以此处译为“谷堆”，尽管下面说的是“沙堆”而非“谷堆”。——译者注
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[2]蒲式耳（Bushel），谷物计量单位。——译者注
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[3]原著此处有瑕疵。在把原题中的语句翻译为标准的逻辑命题时，作者犯了错误。正确的翻译应当是：1. 本当且仅当（艾丽斯当且仅当并非艾丽斯）；2. 本当且仅当并非查理；3. 查理当且仅当艾丽斯。有兴趣的读者可耐心推敲，亦可参考斯穆里安的奇书《这本书叫什么？》，此书已有汉译本。原著的这个例子意在展示问题的表达形式的转换，所以技术性的错误并不造成关键性影响。——译者注
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[4]也许有些读者想知道猪排问题的答案。答案是：“一个热心的逻辑学家总是凌晨5点起床而且凌晨4点以前不睡觉。”
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739693]
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 第6章 观念：意外绞刑悖论
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一个囚徒站在死刑法官面前听候判决。法官的话相当不吉利：“我不得不做出残酷而罕见的判决。我能够做出的最严厉的判决是绞刑。这个恐怖的刑罚必须执行。除此之外，我唯一的自由是安排你的行刑日期。对此有两种考虑让我犹豫不定。”
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“最直接的想法是下令立即执行，马上生效；相反的想法是，这样决定也许对你过分仁慈了，你将不必为即将到来的命运而担惊受怕。因此，我做出一个折中的决定：在下周7天中的某一天，我会在日出时判处你绞刑。我保证，你不可能事先知道自己将在哪一天被绞死。每个夜晚，你入睡时都在担心明天早晨是不是可怕的末日，而当最后的时刻来临时，它将完全是一个意外。”
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囚徒退后，发现他的律师在听到这个难以置信的、残酷的宣判以后，竟然露出了微笑。他们走出法庭之后，律师说：“他们不能绞死你。”律师解释说：“根据安排，在下周的7天中的某一天，在日出时你将被绞死。于是，他们不能在星期六绞死你，因为这是一周的最后一天。如果在星期五的早晨你没有被绞死，那么你就确切无疑地知道行刑日是星期六。这与法官的计划矛盾，法官的计划是不让你事先知道行刑日期。”
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囚徒对此表示赞同。律师接着说：“实际上，他们最迟只能在星期五绞死你，这一点没问题。但是仔细一考虑，他们在星期五也不能绞死你。既然星期六实际上已经被排除，星期五是他们可以绞死你的最后一天，那么，如果你在星期四早晨能活到吃早饭的时候，你将确切地知道自己将死于星期五。这又与法官的命令矛盾。你发现了吗？根据同样的逻辑，可以排除星期四、星期三，乃至于其他每一天。法官把自己套住了。这个判绝不可能被执行。”
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这个囚徒的愉快心情只保持到了星期二。他从美梦中醒来，被押往刑场——这对他来说非常意外。
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