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22n+1
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费马的公式是一个多级指数。一个常见的指数，例如23，表示写在左下方的数（2）乘以自己若干次，乘积的次数即作为小写的上标的数。23即2×2×2=8。在费马公式中，我们首先选择一个任意数n，计算出顶端的指数（2n），然后把底数2以这个数值为指数自乘，最后加1。
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例如，221+1等于5，这是质数。222+1等于17，223+1等于257，224+1等于65 537，这些全是质数。费马猜测，4 294 967 297（225+1）以及这个序列中所有更大的数一定是质数。
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许多人同样相信，这里有经验证据和权威的双重支持。但是，正如你很可能已经猜到的，4 294 967 297根本不是质数。瑞士数学家发现这个数等于641乘以6 700 417。[4]
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科学与三重理由
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相信、合理、真实——在科学史中充满各种各样的例子，分别对应着这三个条件的各种组合。我们用T表示一个条件被满足，用F表示一个条件不被满足，排列就按如上次序。
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TTT表示一个合理的真观念，即一个已被接受的知识。大多数科学观念都属于这一类，无论如何，这部分是正确的。
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FTT表示不被相信的、合理的真理。有许多例子属于这一类。例如，神创论者拒绝相信进化论，虽然有许多压倒性的证据支持进化论。神创论者构成了一个准科学的宗派。拒绝新发现，保有因循守旧的观点［法国科学院拒绝接受陨石，物理学家赫伯特·丁格尔（Herbert Dingle）古怪地拒绝相对论，等等］都属于Ftt。面对这种顽固势力，物理学家普朗克（Max Planck）抱怨道（1949）：“一个新的科学真理得以确立，并非因为其反对者认识到新理论的正确性而接受了新理论，更大程度上是因为反对者最终死了，而熟悉新理论的新一代成长起来了。”[5]
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TFT是不合理的真观念。这就是由错误的理由支撑的真理，灵学家碰巧蒙对的猜测就属于此类。这一类信念也有许多例子。公元前5世纪的德谟克利特相信一个真理：所有物质都是由极其微小而不可见的微粒——原子构成的。虽然他的著作已经失传，但是他不大可能有被我们视为有效的证据。他的判断是一个哲学性的猜想，而结果是正确的。（20世纪物理学所说的原子并不像德谟克利特设想的那样是不可见的，认识到这一点，德谟克利特的幸运猜测就不那么令人惊异了。）
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TTF是一个合理但错误的观念。许多相互延续的、关于宇宙的理论都属于此类，回顾一下这类理论是有趣的。古代人基于他们的理解有理由相信，太阳围绕着地球转。虽然一代又一代的学校老师把这种观点当作谬误的典型，但是敢于把太阳视为一个在遥远处环绕这个世界而动并因而造成日夜变化的物理对象，这需要一定的才智。哥白尼把太阳当作宇宙的中心，他有理由这样相信，但他同样是错误的。由于TTF是假的，我们无法举出一个当前被普遍接受的观念作为例证，但如果我们现在接受的宇宙理论大体上是错误的，这也没什么好奇怪的。
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另外四种情况包括至少两个未满足的条件。TFF是不合理而且实际上是错误的观念，例如迷信的观点、荒诞的传说。FTF是一种独特的情况：尽管我们有理由相信，但是它不被相信，而实际上也是错误的。对上文描述的TTF抱有怀疑的人属于这种情况。哥白尼相信太阳是宇宙的中心，这种观点合理但它是错误的；天主教统治集团不相信哥白尼的观点，则属于FTF。
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FFT代表一个真理，但是由于缺乏合理的理由而不被人们相信。某人拒绝相信某事，他的怀疑是有理由的，但事实上此事是真的。反对德谟克利特的原子论的历代哲学家（他们没有理由相信原子）是一个例子。在某种程度上，每一次科学革命都是由合理的保守主义（FFT）转变为对立面（FTT）的。
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最后一种情况是FFF，这是没有理由的、错误的、被拒绝的观念。例如，不相信永动机的人，不相信“月球是由绿奶酪制成的”这样的废话的人，他们的观点属于此类。
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布里丹语句
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有些观念无法归入以上任何一个类别。“布里丹语句”就挑战了所有对“知道”进行定义的努力。“布里丹语句”得名于14世纪哲学家让·布里丹（Jean Buridan）的《诡辩》中的例子，表述如下：
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没有人相信此语句。
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如果这个语句是真的，则没有人相信它，于是没有人“知道”它。如果这个语句是假的，则至少有一个人相信它，但是没有人（无论相信者还是不信者）“知道”它，因为它是假的。因此，任何人都不可能“知道”这个语句是真的！
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你相信下面这个语句吗？
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你不相信此语句。
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你相信这个语句是愚蠢的，因为这意味着你相信你不相信它。但是如果你不相信它，那么你有充分的理由相信它，因为它是真的……如果以上分析令你相信它，那么你马上又会陷入困境。相信它是荒唐的，整个推理又得重来一遍。奇怪的是，关于这个语句，你无法站在一个稳定的立场上。然而，在任何一个瞬间，一个了解你全部思想的、全知的存在者可以说出你是否相信它。
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这个语句的反面（“你相信此语句”）说出了笛卡儿的“我思故我在”的要旨。只要你相信这个语句，那么它就是真的。如果你不相信它，那么它就是假的，而且你有非常充分的理由不相信它。无论你对这个语句持什么立场，你都是正确的。
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“知道者悖论”比这还要奇怪。这个悖论的核心是如下断言（与意外绞刑悖论中法官的陈述类似）：
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没有人知道这个语句。
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如果它是真的，那么没有人“知道”它。如果它是假的，则立刻导致矛盾：有人“知道”它，但是很明显，没有人可以“知道”一个错误。因而，这个语句不是假的。它是毫无疑问的事实，但是从来没有人“知道”它！
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