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意外绞刑悖论是对演绎推理的一个警示。囚徒的推论是：他不可能在星期日被绞死，因此星期六是唯一的可能。致命的错误在于，他以为排除了不可能的情况就可以保证留下其他的可能情况。但有时所有的可能性都导致矛盾。
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律师的结论是法官的命令不可能得到执行，他的观点更加片面。律师和囚徒都没发现下一步更为残酷的推论：如果囚徒相信法官的命令不可能得到执行，那么刽子手可以在任何一天绞死他，甚至可以选择最后一天，而且绞刑将是意外的。
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[1]阿列夫零是集合论中的术语，读者可以把这个词大致理解为无穷大。——译者注
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[2]直译原文应为“不能以少于19个音节定义的最小整数”，在英语中这个词组恰好包括18个音节。——译者注
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[3]关于“知道”的研究至今尚无公认的结果。——译者注
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[4]有许多公式最初可以产生质数，但算过一些值之后会失败。最著名的例子之一是n2–79n+1 601，直到n取80之前，这个公式一直产生质数，但是当n取80时就不是质数了。这就是在数学中根据归纳得出概括命题的危险。
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[5]艾伦·L·麦凯（Alan L. Mackay）对此的回应是：“既然曾经生活过的物理学家中的百分之九十现在依然健在，为什么我们还是在产生新的思想和观点呢？”
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 第7章 不可能性：期望悖论
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你是一所大学的心理学系主任，正在主持一次奇怪的实验，实验对象是人。一个人A坐在桌边，接受心理学考试；另一个人B坐在他对面，监视他的进展。B面前有一个按钮。B被告知，摁下这个按钮将使A受到惩戒性的、痛苦的电击（但是不会造成永久性伤害）。琼斯教授会定时走到A的旁边，指出一个错误答案，然后指示B摁下按钮。
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实际上A是琼斯教授的同伙。按钮没有接通任何东西，当按钮被摁下时，A假装很痛苦。琼斯进行这次实验的唯一目的是测试B，看他是否会执行“惩罚”A的命令。琼斯的一贯主张是，在权威人物的授意下，大多数人会执行残酷的命令。琼斯在10个不同的B身上做过实验，其中8个人摁下了按钮。
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琼斯教授没有意识到，他本人正处于卡夫卡式的陷阱中：他，琼斯本人，其实是你的实验对象。你的兴趣是研究心理学实验中的“附加因素”，即“实验者偏见效应”。在心理学实验中，当一个研究者期望某个特定结果时，他得到这种结果的可能性更大。研究倾向于支持研究者的一贯主张——这意味着研究过程有问题。
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换一种研究方法，可以消减或消除实验者偏见效应。在检验新药的实验中，实验以“双盲”方式进行，一些实验对象服用新药，另一些实验对象服用安慰剂（不含任何有效成分）。在结果出来以前，实验对象和实验者都不知道对方的情况。这种设计防止了实验者对新药的热情感染服药者。
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但是在某些心理学研究中，双盲设计几乎不可能。实验者必须知道正在发生的情况。他期望他的实验对象变得像纳粹一样凶残，于是，大多数实验对象果然如其所愿。相反，另一个实验者史密斯教授相信人本性善良，做了相同的实验，并报告说，在10个实验对象中只有一个人摁下了按钮。这不是有意欺骗，这是在潜意识下进行的欺骗。史密斯和琼斯都倾向于按照对自己有利的方式解释模棱两可的结果。当琼斯让其实验对象摁下按钮之时，其态度比史密斯更严厉、更专横。二者在选择实验对象B时都可能有意挑选特定的人以获得期望的结果。这两位研究者都没有意识到这一点，但是他们创造的预言具备自我实现的力量。
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如果实验者偏见效应比较强，那么对实验对象的研究将会受到强烈的影响。假设你说服了一个大基金会资助你的实验，你的实验对象是其他一些对实际情况一无所知的心理学家。这个基金会给你足够多的钱，你可以资助琼斯、史密斯以及许多其他的研究者。你并不关心这些人在他们自己的实验中发现什么，你唯一的目的是检验存在于研究者的偏见和他的结果之间的可疑的相关性。你已经观察了许多心理学家，他们个性各异，都在对不知情的人类实验对象进行各种类型的一切可设想的实验。证据是明显的：实验者偏见效应巨大而普遍。在90%的情况下，心理学实验的结果就是实验者期望的结果。
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现在问题出现了。这个结果本身正是你所期望的。如果你的研究是正确的，那么针对人类实验对象的心理学实验结果就是无效的。你的研究也是一个针对人类实验对象的心理学实验，因此，你的研究是无效的。但是如果你的研究无效，我们就没有理由相信实验者偏见效应，而你的研究也很可能是有效的，因为你的研究揭示了无效的研究……
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第22条军规
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小仲马（Alexandre Dumas Fls）说过：“所有全称命题都是危险的，包括本命题在内。”这句话与上文的讨论相比，不仅有表面上的相似性，而且，“期望悖论”也令我们回想起约瑟夫·海勒（Joseph Heller）在《第22条军规》中描述的悖论性的情景：
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只有一条军规（即第22条）具体提到，面对真实而紧迫的危险时，心智健全对个人的自身安全是至关重要的。奥尔疯了，因此他可以停飞。他需要做的只是提出要求。他一旦提出要求，就说明他不是疯子了，他必须继续执行任务。如果他继续执行任务，他就是疯子；如果他停止执行任务，他就是心智健全的。如果他是心智健全的，他就不得不继续执行任务。如果他继续执行任务，那么他就是疯子，他就不必执行任务了；但是如果他不想执行任务，就说明他心智健全，必须继续执行任务。
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比较一下普罗泰戈拉（Protagoras，约公元前480年—公元前411年）的著名故事（这个故事很可能是假的）。普罗泰戈拉是智者学派的开创者，也是古希腊最早的收费教师。一个跟随他学法律的学生和他达成协议：学生在打赢第一场官司之后将支付学费。这个学生不受理案件，想以此逃避交学费。普罗泰戈拉不得不起诉学生以讨回学费，学生则为自己辩护。如果学生输了，他不必付学费；如果他赢了，他也不必付学费。
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（无论如何，故事就是这么讲的。也许有人这样设想：如果学生在他“是否可以推迟受理第一场官司”这个问题上赢得胜利，那么普罗泰戈拉可以立刻向学生索取学费，有必要的话，他可以再次起诉，因为学生已经板上钉钉地违约了。）
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以上这些悖论的一个共同之处是，悖论中有一个概念（或集合）可以自我包含。期望悖论的症结在于，这个实验研究的是以人作为对象的这一类实验，而这个实验本身就属于这一类别。关于包含自身作为元素的集合，最经典的表述是罗素的“理发师悖论”：在某个镇上，理发师给每个不自己刮胡子的人刮胡子。更确切地说，他给且仅给不自己刮胡子的人刮胡子。那么，他是否给自己刮胡子呢？这时，这个理发师无法遵行这个规定。如果他不给自己刮胡子，他就必须给自己刮胡子；如果他给自己刮胡子，他就不能给自己刮胡子。
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以上这些都是伪装成谜题的悖论。乍一看似乎有个答案等待被发现，而一旦你找到了答案，你会说：“啊哈！就是这么回事！”但是，随后你会发现这个答案站不住脚。无论你怎么想，结果都是不可能的。
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