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在小亨利·E·屈贝里（Henry E. Kyburg Jr.）提出的“彩票悖论”（1961）中，概率的地位更加明显。任何一个买彩票的人都不能合理地期望赢，因为结果相反的概率太大了。但是事实上总会有某个人赢，如果每个人都预计自己不会赢，则与这个事实矛盾。在实际生活中这个可疑的推理链条又向前推进了一步。“既然一定会有某个人赢，你怎么知道这个人就不是我呢？”这个想法不符合理性推断，但是国家彩票的广告词就是这么说的。屈贝里认为，一个人的合理观念的集合可能在逻辑上是矛盾的。
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梅金森的序言悖论和屈贝里的彩票悖论涉及的深层问题在于，大量观念汇集在一起可能把矛盾隐藏起来。在一个由100万个命题构成的集合中，某个单独的命题可能会引入一个微妙的矛盾。请考虑这个连锁推理：
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1.艾丽斯是个逻辑学家。
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2.所有逻辑学家都吃猪排。
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3.所有吃猪排的人都是克里特岛人。
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4.所有克里特岛人都是说谎者。
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5.所有说谎者都是出租车司机。
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999 997.所有得克萨斯人都是富人。
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999 998.所有富人都是不快乐的。
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999 999.所有不快乐的人都吸烟。
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1 000 000.艾丽斯不吸烟。
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省略号表示其他前提，即第6~999 996条。其中每一个命题都是“所有的X都是Y”这种形式，我们最终可以推出，所有的逻辑学家都是吸烟者，由此得到艾丽斯吸烟。这与第100万条前提矛盾。因此，这个命题集合是不可满足的（自相矛盾的）。
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没有哪个前提格外值得注意。有趣的是，去掉任何一个前提都会使得整体变成可以满足的。例如，去掉前提4，则得到艾丽斯是克里特岛人，所有说谎者都吸烟，艾丽斯不吸烟（因此艾丽斯不是说谎者）。
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在这个例子中，所有前提以整齐的次序排列，因而不难看出其中的矛盾。如果这100万个前提打乱次序随机排列，要想发现其中的自相矛盾之处就非常困难了。如果其中某些命题采取了更复杂的形式，难度则更大。一个观念集合如同一个博罗梅奥环（Borromean Ring），或是那种抽出一片就使整体散架的智力玩具。每个命题的作用都会在整个集合中传播开来，对整体产生影响。
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波洛克毒气室
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一旦陷入悖论，人们的第一个反应是放弃一个（或更多）导致矛盾的初始假设。问题是，我们如何决定放弃哪个观念？约翰·L·波洛克（John L. Pollock）根据证实规则解决了序言悖论。他通过下面这个思想实验展示了证实规则：
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一个房间有时会充满绿色的毒气。为了警告那些可能想进入的人，这个房间设计了一个警示系统。这个系统（由一个委员会设计）这样工作：通过门上的窗户可以看见房间里的一盏警示灯。当人们可以安全进入时，灯是绿色的（表示“通过”）；当房间里有致命气体时，灯是白色的（在某些亚洲国家白色代表死亡）。
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糟糕的是，当房间里有毒气时，灯实际上是白色的，但是绿色的毒气使得灯看起来是绿色的，因此，这个系统无法使用。无论房间里有没有毒气，灯看起来总是绿色的。委员会设法解决了这个缺陷。在距警示灯几英寸的地方安装了一个闭路电视摄像头，视频信号传给房间外的彩色监视器。无论房间里是否有毒气，监视器都会精确地再现警示灯的颜色。在门上有一个警示牌，上面写明：“不要理会通过窗户看到的灯的颜色，以电视监视器反映的颜色为准。”
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波洛克用这个组装的警示系统比喻我们关于世界的不完善的知识。灯或绿或白，但是我们不知道是绿还是白。从窗户中看，灯是绿色的。表面证据让我们相信灯是绿色的。但是在电视屏幕上，灯看来是白色的。这个理由让我们相信灯是白色的。但是灯是绿色的意味着它不能是白色的，反之亦然。在这两个原本可信的猜想中，我们必须放弃一个。
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波洛克注意到，拒斥一种观念的方法不止一种。你可能会说：“通过窗户看灯是绿色的。根据经验我知道，大多数窗户是用无色玻璃做的，玻璃不会使颜色走样。空气也是无色的。因此，通过玻璃看灯是绿的便有了一个合理的理由，我相信灯是绿色的。如果灯是绿色的，那么它不能是白色的。因此它不是白色的。”
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当然，你可以同样容易地做出如下推理：“从电视监视器上看，灯是白色的。物体的颜色通常与彩色电视机反映出来的一样——这就是我们买彩色电视机的全部原因。因此，从监视器上看灯是白色的是一个合理的理由，我相信灯是白色的。如果灯是白色的，那么它就不能是绿色的。因此它不是绿色的。”
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