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在最初的30秒中，按钮压在电极上，灯泡是亮的。再过15秒，灯泡关闭。按钮先用7.5秒向上弹起，又用7.5秒回落。然后，按钮在电路上停留7.5秒，这段时间电路接通，灯泡又亮了。再往后，按钮用1.875秒向上弹起，用1.875秒回落，灯泡保持熄灭3.75秒。
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按钮起落无穷多次，但是每一次移动的距离都是上一次的1/4，就像是一只弹性不大好的球。在整个操作中，按钮移动的总距离同总时间一样，是个有限数。移动速度是常数，比光速小得多。
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遗憾的是，格林鲍姆和贾尼斯的改进还是不能彻底挽救汤姆森灯。按钮在往复运动的过程中需要加速和减速，而加速度会超过任意的固定值。看起来，无限大的加速度毕竟比无限大的速度容易接受，但是……任何物理对象都只能承受一定限度内的加速度。在某一时刻，加速度肯定会摧毁按钮，其效果就和用锤子砸碎的效果一样。
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改进版的汤姆森灯有一个更严重的问题：在1分钟之后灯是开是灭已经不是问题。在操作过程中，按钮的底部与电路之间的距离越来越小，最终恰好停在电路项上。（就好像一只球在地板上蹦，最终落在地板上。）改进版的汤姆森灯在操作结束时一定是亮的。修改开关的结构就会导致这种令人不满的结果。这个改进版的汤姆森灯与原来的汤姆森灯有关系吗？——确实成问题。
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在设计圆周率机和皮亚诺机时也会遇到一些问题，有的与上面的问题类似，有的则不是。［顺便说一句，皮亚诺机的名字是格林鲍姆起的，是为了纪念意大利数论家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）。］圆周率机的问题是，计算圆周率的数字的过程怎么可能这么快。下文将提到，计算速度如同运动速度一样，是有上限的。在数字向窗口中弹出的过程中，为了避免运动速度达到无限，运动的距离必须递减。最终，我们将无法判断正在显示的是哪个数字。圆周率机可以换一种显示模式，每个数字被打印出来，数字的字体表现为超现实主义风格：每个数字的高度是上一个数字的一半。全部计算结果可为一张索引卡片所容纳。但是有一个问题：即使用最强大的电子显微镜也看不出最后一位数字是几。
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皮亚诺机有一个独特的问题：数字的读法越来越复杂。干净利落地读出一个100位的数也要花很长时间。贾尼斯建议不采用日常语言的读法。他的方案是，设计一个编码方法，让每一个数对应一个频率确定的音调，然后用哨音把数字“吹”出来。
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发出一个声音需要消耗多少能量取决于频率（音调）和振幅（音量）。为了避免能量需求达到无穷大，随着频率的增加，振幅必须减小。在这1分钟的最后一瞬，机械嘴的音量将下降到0。你无法听到最后的哨音——即使你的耳朵有能力捕捉音调无限高的声音。
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请注意：如果试图以更具物理上的可实现性的方式设计三种无限机器中的任何一种，都会导致一个结论——最后的结果是不可见的（或不可闻的）。许多哲学家认为，在涉及无限机器、超级任务以及只有通过超级任务才能了解的事实时，总是有些可疑的东西。
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几何级数
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无限——完全就其本意来说是不可理解的，但是趋近于无限的情况随处可见。有一个印度传说，什里姆国王（King Shirim）曾经落入西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）的圈套。达希尔是国王的大臣，发明了国际象棋。国王钟爱这一游戏，决定重赏发明者。因为国际象棋棋盘有64个格子，国王决定为每个格子赏赐达希尔一块金子。达希尔礼貌地谢绝了这份赏赐，恳请国王以另一种方式奖励他。他请求国王在棋盘的第一个方格上放一粒麦子，在第二个方格上放两粒麦子，在第三个方格上放四粒麦子，依此类推，每个方格上的麦粒数是上一个方格的2倍，直到棋盘的每一个方格上都分配了麦粒。
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因感动于达希尔的谦虚，国王收回成命，转而下令拿来一袋麦子，按照达希尔的要求仔细地数出麦粒来。当国王的仆人们对付第12个方格时，他们就已经无法把所有的麦粒放进方格里了，只好把大臣应得的麦子在棋盘旁堆成一堆。国王吃惊地发现，第20个方格还没被满足，一袋麦子就耗尽了。他下令取来更多的麦子……最后所有的麦子都用完了。他的王国的所有麦子加在一起也无法满足达希尔的要求，不仅如此，全印度乃至全世界的麦子加在一起也不够用。
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这个故事的寓意在于，永远不要低估几何级数。当然，从民间故事里挖掘出数学含义有点奇怪。根据国王最初的想法，赏给达希尔的金子直接和棋盘包含的方格数成正比。如果达希尔设计的棋盘不是64个方格，而是81个、49个或者其他数字，从国王的角度说都没有太大的差别。区区几块金子与国王的财富相比，算得了什么呢？
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然而，几何级数的增长超出世间的任何限制——对于财富或任何其他东西都是如此。达希尔要求以麦粒为单位来赏赐，麦粒的价值与金块相比微不足道，但是这个事实对最终结果几乎没有影响。
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我们看一下，多少粒麦子才能满足达希尔的要求。这个总数是1+2+4+8+…，换一种写法，即20+21+22+23+…262+263。（这个级数的最后一位是263，不是264，因为第一个方格中的麦粒数是20，即1。）
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以2为公比的几何级数的和总是等于最后一项的2倍减1，再用这个差乘以数列的第一项。例如，20+21+22（=1+2+4）等于23减1（即8减1）。所需的麦粒的总数是264–1，等于18 446 744 073 709 551 615。
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1吨麦子大约包含1亿粒麦粒，因此，所需的麦粒总量大约为2 000亿吨。现在（指本书成书时的1987年）全世界小麦年产量仅有4.6亿吨。国王欠下达希尔相当于4个世纪的小麦产量的债务（以现在的年产量计）。显然，当时的小麦产量还比现在低得多。（我们不知道这个故事发生在多久以前，因为国际象棋的发明时间不能确定。和篮球一样，国际象棋发生过几次变革，此外，我们不知道历史上是否确有达希尔其人。）
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马尔萨斯灾难
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托马斯·马尔萨斯（Thomas Malthus）认识到，世界人口以几何级数增长，而粮食产量仅以算术级数增长，在此基础上形成了他的著名理论。马尔萨斯有理由相信，每年新开垦的农田面积是固定的。因而，粮食供给的增长大致是这样的：100，102，104，106……另一方面，人口的增长率（主要取决于每年的新生婴儿数）随人口规模本身而增长。世界人口趋向于每隔若干年增加一倍，增长情况大致是：1，2，4，8，16，32……和达希尔的奖赏一样，这是一个几何级数。马尔萨斯警告说，人口增长必定超过食物供给，导致全球性的饥荒。
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用“几何级数”这个术语来称呼这种级数并不恰当，把这种级数以几何指称既不形象又容易引起混淆。一个更恰当的术语是“指数级数”，这个名称源自“指数”这个术语。生长的有机体一般以指数增长为特征。无论是细菌的繁殖还是人类的繁衍，其共同特征是，新增个体数与总数成正比。复利存款也呈指数增长——这显然与这一事实有关：借方和贷方都是不断生长的有机体，他们创造了以指数状态增长的经济，而且，他们进行交易时依据的货币处于呈指数增长的通货膨胀中。
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指数增长可以用简单的数学函数描述。所谓函数是从一个数转换为另一个数的过程。你可以把函数理解为袖珍计算器上的一个特定的键。你先在计算器上输入一个数，然后摁这个键，得到一个新的数。例如，开平方函数（许多计算器上都有开平方键）会产生一个数，此数乘以自身后得到最初输入的那个数。如果先输入36，再摁开平方键，得到6。
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函数不仅限于可以在计算器上算出。任何一个从某个数产生新数的清楚而确定的过程都是“函数”。我们可以定义一个函数：67乘以n的积加上381（对于任意数，n），这就是一个有意义的函数。函数通常用方程的形式表示，例如：
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f（n）=67n+381
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“f（n）”读作“n的函数”。
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