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f（n）=67n+381
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“f（n）”读作“n的函数”。
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我们很自然地想知道，哪种动物最大、什么动物的运动速度最快。同样，数学家也想知道，哪一种函数最大，或者增长得最迅速。有些函数胜过其他函数。如果在n足够大时，一个函数的值总是大于另一个函数，那么我们说前者比后者大（或者说增长更快）。例如，函数A是A（n）=1 000 000 000 000 000，而函数B是B（n）=n，则在很大一段区间里b较小。但是当n取大于1 000 000 000 000 000的任意数时，B（n）都大于A（n）。因此，B（n）的增长比A（n）快。
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以上这些函数都不算大。任何一个常函数，即f（n）等于一个固定值的情况，最终一定会被一个与n成正比的函数超过。同样明显的是，这两种函数都会被与n2成正比的函数超过。与n3成正比的函数最终会增长得更快。类似地，对于与n4、n5、n6等成正比的函数，也是如此。
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多项式是一个表达式，由一个变量的各次幂组成，例如n3+8n2–17n+3。一个多项式表示了一个函数。粗略地说，一个多项式函数的相对增长速度取决于它的最高次幂。函数n3+8n2–17n+3的增长速度远远超过任何最高次幂为2的函数。同理，它将被一个最高次幂为4（或更高）的函数超过。
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许多函数的增长还要更快。马尔萨斯的悲观论点立足于一个事实：指数函数的增长超过任何多项式函数的增长。在一个指数函数中，某一个特定的常数以n为指数（而非n以某个常数为指数）。f（n）=3n是一个指数函数，它表示3自乘n次。当n为2时，3n即32，等于9。当n为1时，结果即等于底数（这个例子中是3）；当n为0时，无论底数是多少，结果都定义为1。于是，对应0，1，2，3，4……的函数值分别为1，3，9，27，81……每一项的值等于前一项的3倍。底数越大，函数值的增长越快。对于10n，每一项是前一项的10倍；而对于1 000n，每一项是前一项的1 000倍。
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在复杂性理论中，表示一个问题的困难程度的最常用的标准是解决此问题所需的时间。不用说，每个人的工作效率是不一样的，计算机也各不相同。同样重要的是，针对同一个问题，算法可能不止一种，而某些算法比其他的更快。解决各种类型的问题所需的时间差异如此之大，这使得计算机与计算机之间（以及人与人之间）的计算速度的差别已经不重要了。
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需要强调的是，某些问题可以用“多项式时间”解决，而另一些问题需要“指数时间”。这意味着，解决一个问题所需的时间可以表达为关于问题的规模（或复杂度）的一个多项式函数（或指数函数）。如果一个问题需要指数时间，则通常会令人绝望。无限机器也许只是胡思乱想，但是指数时间问题却是真实而普遍存在的。解决这类问题需要数量接近于无穷多的步骤——即使问题出现在有限的宇宙中。
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下一章将讨论多项式时间问题与指数时间问题的差别以及这个问题与悖论的关系。现在，我们来研究两个质疑时空无限性的悖论。
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奥尔贝斯悖论
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1826年，德国天文学家海因里希·威廉·奥尔贝斯（Heinrich Wilhelm Olbers）意识到宇宙中有些东西似乎不对劲。天文学作为科学的一个分支，不能回避无限的问题。物理宇宙要么是无限的，要么是有限的。但是对于大多数人来说，这两种可能性都不容易被接受。
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布莱士·帕斯卡（Biaise Pascal）写道：“每当设想我的生命被封闭在永恒的时间中的一个狭小的范围内，我能看到且感知的一小部分空间淹没于一个无限广袤的空间中，我对这个无限的空间一无所知，这个无限空间也不能了解我。一想到这些，我就对自己身处于此地而非别处感到恐惧和震惊。”另一方面，一个有限的宇宙也许令人更加难以接受。人类难以设想空间怎么会有尽头。
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这种不安并非新问题。希腊哲学家卢克莱修（Lucretius）认为，他的论证足以证明空间是无限的：假定空间是有限的，那么空间则有一个边界。如果让某个人达到这个终极的边界，把一支标枪掷过边界，那么这支标枪要么穿过边界，要么被什么东西挡住——某个本身必定在边界外的东西挡住了它。无论是哪一种情况，都说明在边界外存在某种东西。以上操作可以不断重复，推动这个所谓的边界无限倒退。
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在奥尔贝斯的时代，大多数天文学家认为空间的无限性是理所当然的。奥尔贝斯对无限时空的反对被当作痴人说梦，他也因此而闻名。假定宇宙是无限的，而星体（还有星系，虽然奥尔贝斯那个时代的人还不知道星系）在各个方向上从中心向外无限延伸出去。在这种情况下，从地球发出的一条直线（无论其方向如何）必将与一颗星体相遇。
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当然，这条直线也许在延伸数十亿光年之后才与某星体相遇。关键在于，在一个散布着星体的宇宙中，这条直线最终必定遇到一个星体。这就好比，如果我们在轮盘赌上玩足够长的时间，那么所有号码最终肯定都会出现，不会有例外。
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太阳是一颗恒星，在天空中，看起来有宽度的恒星仅此一颗。如果太阳与我们的距离增加到现在的10倍，那么它的外观表面积将只有现在的百分之一，亮度同样下降到之前的百分之一（根据很久以前就已确立的亮度递减公式）。如果太阳距离我们比现在远100万倍，它将变暗1万亿倍，它在天空中的大小将是现在的一万亿分之一。需要注意的是，在天空中，单位面积上的亮度保持不变，与距离无关。无论太阳距离地球多远，其单位表面积上的亮度都是固定的。奥尔贝斯意识到，这个简单的事实蕴含着一个悖论。
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在夜空中，其他星体只呈现为针孔大小，但是这些针孔（平均而言）与太阳表面一样亮。光沿着直线传播，如果从地球出发的一条直线与某颗星体相遇，我们可以见到这颗星体发出的光。如果从地球出发的每一条直线都与某颗星体相遇，那么整个天空应当充满相互交叠的星体光盘，每个光盘都与太阳的光盘一样明亮，所有光盘交叠在一起，遍布整个苍穹。这幅图景就好像太阳是一个空心的球体，而我们位于球体的中心。阴影之类的东西不会出现，也不会有所谓的夜晚——夜晚其实就是阴影。
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太阳无处不在，阳光永恒地照耀。也许你会认为，某些黑暗的对象会挡住星光，让我们无法看见。但是在这种环境下，不可能有任何黑暗的东西，所有东西都会吸收、传播或反射光（通常三种情况都有），任何吸收光线的东西（如月球、星尘、这本书、你的眼睑）都会吸收热量，直到其温度达到星体本身的平均温度，而后他们将发出同样强度的光。任何完美地传播光线的东西（一块理想状态下的玻璃）都是完全透明的，不会产生任何阴影。那些反射光线的东西（比如镜子）应当反射出与背景同样耀眼的光，让我们分辨不出来。
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这就是奥尔贝斯悖论。当然，整个论证显然是错误的。这个悖论令奥尔贝斯闻名，但他并不是最早沿着这个思路设想的人。托马斯·迪格斯（Thomas Digges）、埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）、埃德加·爱伦·坡（Edgar Allan Poe）以及其他人也曾关注过这种观点，但是它在几个世纪的时间里一直没有受到重视。显然，和前文讨论的无限机器一样，这个悖论针对一个无限性的问题（宇宙是否无限）提供了一个短平快而轻佻的答案。
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反对“多”
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把望远镜倒过来看，你会见到有趣的图景。类似的想法可以导致一个悖论，这个悖论可视为芝诺“反对‘多’的悖论”的升级版。我们知道，即使最短的线段也包含着无穷多个点。这么说，一个核桃壳内部也存在着无限的空间，如同辽阔的星际一样不可测量。
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“坚固”的物质是由原子构成的，而原子内部大部分是未被填充的空间。非空的部分是质子、中子和电子，而这些粒子内部大部分也是未被填充的。如果空间是无限可分的，就会有一个无穷的序列：粒子、亚粒子、亚亚粒子，而它们内部大部分是空的。也就是说，任何东西内部的99.999 999%以上的空间都是虚空。果真如此，我们就应当无法看见任何东西，如同格特鲁德·斯坦（Gertrude Stein）提到“奥克兰”一样——那儿什么也没有。
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利用物理学可以简单地解决这个悖论。一方面，原子中的电子会散射可见光。电子可以像波一样在空间中展开，实际上，整个原子被电子“笼罩”和“覆盖”着。另一方面，电子可以被当作一个无限小的粒子，永远无法进入其内部。原子核中的质子和中子不散射普通光。[4]
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为了使这个悖论成立，我们必须假定自己有一种超级视力：当且仅当从你的眼睛出发的一条绝对直的几何直线遇到一个被物质占据的点时，你就会看到东西。这样，当你看一个核桃壳时，你看到的不是核桃壳，而是成千上万的由电子和组成电子的夸克（或者组成电子和夸克的终极的亚粒子）构成的点。每个东西看起来都像是不规则的尘埃碎片。由于我们看不到单独的、无限小的点，所以每个东西都应当是不可见的。
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