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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739731]
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迷宫先知
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NP完全问题有一个令人惊异的属性：其答案很容易验证。设想你遇到一个先知，无论你问什么问题，这个先知都能依靠神的启示立刻给出答案。那些相信先知的全知能力的人带着问题来问先知，这些问题如此之难，以至于他们解决不了，但是先知却能立即做出回答。
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然而，当先知试图向所有人证明自己的特异功能时，他遇到了麻烦。他的想法是，通过表明他给出的答案的正确性来证明自己确实是全知的。但有时这是不可能的。
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人们问他的问题分两类。最常见的一类是其他人无法回答的难题：为什么存在邪恶？神存在吗？圆周率的十进制小数展开式中小数点后第10100位数字是几？实际情况是，先知的回答从各个角度来说都是正确而精准的，但是他无法证明这些答案。怀疑者对他冷嘲热讽：对于这些问题先知可以胡乱给出任意的答案，反正别人也无法揭穿他。即使是相对而言比较现实的问题（例如圆周率的第10100位的数字）也难以验证，其难度已超出了世界上最强大的计算机的处理能力。
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为了证明他的特异功能，这个先知必须回答那些答案可以被检验的问题。人们问他的问题中也包括这种，其中某些是怀疑者提出的，提问的目的就是拆穿他。基里巴斯的首都是哪儿？622 521的平方根是多少？《小妇人》中的姐妹们叫什么名字？这只密封的箱子里装的是什么？
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先知正确地回答了所有这些问题，而且提问者知道先知的答案是正确的。提问者知道这一点，是因为提问者本来就知道答案。问题就出在这儿。这些问题太简单了，因而不足以确切无疑地证明先知的神力。既然提问者早已通过普通的方法知道了答案，那么可以设想，先知同样可以利用普通的方法了解或发现。怀疑者会说，他的全知可能是假冒的：他不过是一个计算天才，在一些琐细的事情方面的知识非常渊博。至于最后一个问题，他采用了“测心术”——表演者在舞台上施展的不入流的骗术。
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这两种结果都是先知的失败。如果一个问题是其他人无法回答的，怀疑者会指控他捏造；如果一个问题的答案是已知或者可知的，怀疑者会指控他假冒。为了证明自己的全知，先知需要第三类问题，其特点在于：问题很难回答，可一旦说出答案，便很容易验证。存在这样的问题吗？
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无限迷宫问题就满足这个要求。让怀疑者在这个迷宫中选两个随机点，然后让先知在两点间确定一条路线。任何人都能轻而易举地验证答案正确与否，他们需要做的不过是沿着指定的路线走，验证一下自己是否到达正确的地点。
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这个问题不会是另一个“简单”的问题吗？我们必须确保选定的这两个点足够远，没有人知道连接这两个点的路线，甚至没有人可以用正常方法找到一条这样的路线。算法（包括奥尔算法）的相对低效性保证了这样一对点的普遍存在。如果两个点相距20个节点，用普通方法找到一条路线需要若干个世纪。[3]另外，这个问题不会是另一个“困难”的问题吗？不会，因为我们只需20分钟就可以检验先知的答案（假定每分钟走过一个枝）。迷宫的一个解比迷宫本身容易太多了。
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就本质而言，第三类问题与复杂性理论中的“NP类”很接近。
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739732]
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P和NP
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一个一般性的问题不同于一个问题的若干例子。拼版游戏是一类一般性的问题；把1 500块碎片拼起来，复原成一幅荷兰风车的图案。这是拼版游戏的一个例子。
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NP完全理论判断问题的难度不是以某些特定的例子为依据，而是以难度随问题的规模增长而增长的函数关系为依据。在拼版游戏中，问题的规模反映为碎片的数量。碎片越多，问题越难。问题的难度最好用解题所需的时间衡量。当然，所需时间依赖于你的工作效率，但是这段时间显然与你为了完成工作而必须比照、处理的碎片数目有非常大的关系。
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拼版游戏有一些非常困难的例子，例如有一种比较新颖的玩法，所有的碎片都是一种颜色。在这种情况下，你必须随机地比较碎片，判断它们是否吻合。在这个过程的早期，你需要把每一个碎片和许许多多的碎片比较，这个阶段会令你精疲力竭。比较和匹配操作的总体步骤与碎片数量的平方成正比。因此，所需的时间可以表示为包含n2的多项式函数，其中n为碎片的数量。
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比较而言，这个问题所需的时间还不算多。在迷宫中，用奥尔算法找到终点所需的时间更接近于2n，其中n是起点和终点之间的节点数。当n较小时，n2和2n之间差别不算巨大；随着n值的增加，多项式函数和指数函数之间出现一条巨大的鸿沟。你可以解决一个有5 000个碎片的拼版问题，但是你无法解决一个需要5 000次正确选择的迷宫问题，除非迷宫明显非常简单。
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从复杂性理论的角度看，所谓“容易”的问题是那些可以在多项式时间内解决的一般性问题。这些问题属于P类（P代表多项式）。我们把P设想为某处的一个辽阔的国家，粗略地画在地图上，但是边界是清楚的。地图上的任何一点或者属于P，或者不属于P。当然，我们的地图不大可靠，有时候无法判断属于与否。拼版问题是一个属于P类的点，简单的算术问题也属于此类。
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另一类问题称为“NP”，包括所有那些答案可以比较容易地被检验的问题（可以在多项式时间内验证）。如果一个问题是简单的，那么答案也是容易检验的。如果别无检验的办法，你可以把问题重解一遍，比较一下两次的答案是否一样，这样就完成了检验。因此，所有简单问题（P类）属于答案容易检验的问题（NP）。NP还包括许多P以外的问题，迷宫就是一个例子。这样看来，NP像是一个更大的国家，而P是NP内部的一个省。如果画成地图，大致如下图。外面的矩形代表所有可能的问题。NP类并不包含所有的问题。有些极端困难的问题，甚至检验其答案都是很难的。矩形中NP的圆圈以外的部分代表这类问题。
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我们在这个背景下讨论先知的问题。第一类问题是困难的，检验也是不容易的，它们相当于NP的圆圈以外的问题。第二类问题对应于P类。第三类问题难以回答但容易检验，对应于在NP范围内但不属于P的问题。
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“NP”这个术语（“非确定性多项式时间”）涉及一种被称为“非确定性计算机”的东西。这种理想化的计算机会特别地被称为“图灵机”，这是计算机先驱艾伦·图灵（Alan turing）构想出来的。非确定性计算机与字面意思不大一样。从字面上看，它的意思似乎是计算机随机工作，或是遵循某种不大确切的“算法”（或者一台有自由意志的计算机）。
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我们可以这样设想一台非确定性计算机的操作：我们的计算机不止一台，我们有很多台计算机，计算机的数量有可能是无穷多的。每一台计算机被分配了某个问题的一个可能解，以负责检验这个解。
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例如，我们的问题是，要在迷宫中找一条路线，全体计算机（在这个例子中是机器人）从入口处出发。每当这支机器人搜索队走到迷宫的一个岔路口时，他们兵分数路，每条路分配一队人马。搜索队在每个新的岔路口不停地分派人马，直到把所有可能路线探索完毕。
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至少有一个机器人实际上从入口走到了终点。现在我们集中考虑这个机器人。它用了多长时间？很可能没用多少时间。迷宫的解通常较短，迷宫的难度在于尝试所有错误的路径以及退回到出发点的过程。一台非确定性计算机用来“解”一个问题所需的时间就是用来检验一个猜出来的解的时间。
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NP问题大致相当于科学探索所面对的问题。当科学家试图建立新的真理时，他的地位很像上文提到的先知。科学最关心的假说与NP问题的答案类似：这些假说可以非常容易地被证实或反驳。