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就本质而言，第三类问题与复杂性理论中的“NP类”很接近。
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739732]
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P和NP
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一个一般性的问题不同于一个问题的若干例子。拼版游戏是一类一般性的问题；把1 500块碎片拼起来，复原成一幅荷兰风车的图案。这是拼版游戏的一个例子。
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NP完全理论判断问题的难度不是以某些特定的例子为依据，而是以难度随问题的规模增长而增长的函数关系为依据。在拼版游戏中，问题的规模反映为碎片的数量。碎片越多，问题越难。问题的难度最好用解题所需的时间衡量。当然，所需时间依赖于你的工作效率，但是这段时间显然与你为了完成工作而必须比照、处理的碎片数目有非常大的关系。
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拼版游戏有一些非常困难的例子，例如有一种比较新颖的玩法，所有的碎片都是一种颜色。在这种情况下，你必须随机地比较碎片，判断它们是否吻合。在这个过程的早期，你需要把每一个碎片和许许多多的碎片比较，这个阶段会令你精疲力竭。比较和匹配操作的总体步骤与碎片数量的平方成正比。因此，所需的时间可以表示为包含n2的多项式函数，其中n为碎片的数量。
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比较而言，这个问题所需的时间还不算多。在迷宫中，用奥尔算法找到终点所需的时间更接近于2n，其中n是起点和终点之间的节点数。当n较小时，n2和2n之间差别不算巨大；随着n值的增加，多项式函数和指数函数之间出现一条巨大的鸿沟。你可以解决一个有5 000个碎片的拼版问题，但是你无法解决一个需要5 000次正确选择的迷宫问题，除非迷宫明显非常简单。
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从复杂性理论的角度看，所谓“容易”的问题是那些可以在多项式时间内解决的一般性问题。这些问题属于P类（P代表多项式）。我们把P设想为某处的一个辽阔的国家，粗略地画在地图上，但是边界是清楚的。地图上的任何一点或者属于P，或者不属于P。当然，我们的地图不大可靠，有时候无法判断属于与否。拼版问题是一个属于P类的点，简单的算术问题也属于此类。
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另一类问题称为“NP”，包括所有那些答案可以比较容易地被检验的问题（可以在多项式时间内验证）。如果一个问题是简单的，那么答案也是容易检验的。如果别无检验的办法，你可以把问题重解一遍，比较一下两次的答案是否一样，这样就完成了检验。因此，所有简单问题（P类）属于答案容易检验的问题（NP）。NP还包括许多P以外的问题，迷宫就是一个例子。这样看来，NP像是一个更大的国家，而P是NP内部的一个省。如果画成地图，大致如下图。外面的矩形代表所有可能的问题。NP类并不包含所有的问题。有些极端困难的问题，甚至检验其答案都是很难的。矩形中NP的圆圈以外的部分代表这类问题。
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我们在这个背景下讨论先知的问题。第一类问题是困难的，检验也是不容易的，它们相当于NP的圆圈以外的问题。第二类问题对应于P类。第三类问题难以回答但容易检验，对应于在NP范围内但不属于P的问题。
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“NP”这个术语（“非确定性多项式时间”）涉及一种被称为“非确定性计算机”的东西。这种理想化的计算机会特别地被称为“图灵机”，这是计算机先驱艾伦·图灵（Alan turing）构想出来的。非确定性计算机与字面意思不大一样。从字面上看，它的意思似乎是计算机随机工作，或是遵循某种不大确切的“算法”（或者一台有自由意志的计算机）。
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我们可以这样设想一台非确定性计算机的操作：我们的计算机不止一台，我们有很多台计算机，计算机的数量有可能是无穷多的。每一台计算机被分配了某个问题的一个可能解，以负责检验这个解。
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例如，我们的问题是，要在迷宫中找一条路线，全体计算机（在这个例子中是机器人）从入口处出发。每当这支机器人搜索队走到迷宫的一个岔路口时，他们兵分数路，每条路分配一队人马。搜索队在每个新的岔路口不停地分派人马，直到把所有可能路线探索完毕。
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至少有一个机器人实际上从入口走到了终点。现在我们集中考虑这个机器人。它用了多长时间？很可能没用多少时间。迷宫的解通常较短，迷宫的难度在于尝试所有错误的路径以及退回到出发点的过程。一台非确定性计算机用来“解”一个问题所需的时间就是用来检验一个猜出来的解的时间。
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NP问题大致相当于科学探索所面对的问题。当科学家试图建立新的真理时，他的地位很像上文提到的先知。科学最关心的假说与NP问题的答案类似：这些假说可以非常容易地被证实或反驳。
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在NP问题和科学之间还有更惊人的联系——逻辑演绎本身就是一个NP问题。
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739733]
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最难的问题
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在NP类问题中，哪个问题最难？1971年，斯蒂芬·库克证明，“可满足性”和NP中的任何一个问题相比至少同样难。他的证明显示，在NP中不存在更难的问题，因为所有NP问题都可以转化为可满足性问题。
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随之而来的是理查德·卡普的发现（1972）：许多不同种类的难题都属于可满足性问题。这些形态各异的问题来自图论、逻辑学、数学游戏、数论、密码学、计算机编程等领域，它们都和可满足性问题同样难。由最难的NP问题构成的类称为“NP完全”。用维恩图（Venn Diagram）表示，NP完全在NP的圆圈内，但位于P外。
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严格地说，NP完全是一个不稳定的区域，也许并不真正存在。我们尚未证明NP完全问题无法在多项式时间内解决。我们的证据仅仅是经验性的：理论家和计算机程序员倾注多年的心血，试图在多项式时间内解决NP问题，但是毫无例外地失败了。在实际中，一旦证明一个问题属于NP完全，则可以认为有充分理由证明，这个问题不存在高效率的解决方法。
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我们还可以勉强设想，存在一种尚未发现的超级算法，可以在多项式时间内解决所有的NP问题。如果确实有这种算法，那么P、NP和NP完全就全变成一回事儿了，我们可以把它们合在一起表示为一个圆圈。
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如果存在一种高效率的解法——一个神奇的窍门，那么我们从逻辑前提中可以推出的东西 （像福尔摩斯那样）实际上就没有任何限制。反过来说，如果可满足性问题和NP完全问题没有高效率的解法，在现实中就一定存在大量的永远不会被发现的真理。我们强烈地感到，这样一种解法是不存在的。所有人都像华生医生那样，错过了大量可见的线索。
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这意味着，对于哪些逻辑问题是可解决的，存在着一个关于其规模的相对严格的限制。在迷宫问题中，一旦迷宫规模超过一定限度，就变成实际不可解的了；同样的道理，一旦一个逻辑问题超过一定的复杂程度，也会变成实际不可解的。一个明显的推论是，我们关于实在世界的推理也是有限度的。
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