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纽康悖论
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纽康悖论大致如此：一个巫师宣称，他可以提前若干天预言你的思想和行动。像大多数巫师一样，他并不保证自己的预言百分之百准确。迄今为止，他的准确率在90%左右。为了验证巫师的异能，将进行一次特殊实验，你同意参加实验。电视新闻频道为这次实验提供设备，并资助了一大笔钱。你的全部义务是遵循实验规定的条件。
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桌子上有两个箱子A和B摆在你面前。
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箱子A中有一张1 000美元的支票。箱子B中或者有100万美元，或者什么也没有。你看不到箱子B的内部。你必须凭自己的自由意志做出决定（如果自由意志存在的话）：或者拿走箱子B，或者两个箱子都拿走。只有这两个选项。
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关键在于，24个小时以前，巫师预测了你将做出哪种选择。由他来决定是否在箱子B中放100万美元。如果他预测你将只拿箱子B，他会在里面放100万美元；如果他预测你将拿两个箱子，他会让箱子B空着。
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从你的角度看，你不在乎巫师的异能是否可信，你只关心一件事：在实验结束时拿到尽可能多的钱。你还没富到不在乎钱的程度。对你来说，箱子A里的1 000美元是一笔巨款，100万美元则是天文数字。
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实验条件经过精心设计，并将严格执行。你可以确切无疑地相信，箱子A里面有1 000美元。箱子B里面可能有100万美元，也可能空空如也——这取决于巫师的预测。在这个问题上，没有人会骗你。当巫师做预测时，有一个值得信赖的朋友在一旁监视，这个朋友担保巫师遵循了向箱子里放钱的规则。
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同样可以肯定的是，你没有机会破坏规则。现场有武装警卫，预防你采取视钱财如粪土的态度，哪个箱子也不要。此外，你不能以这种方法瞒过巫师：依靠某些自己的心理过程之外的东西来做决定。你不能靠抛硬币或者当日股票市场成交数是单是双来做决定。你必须分析自己的处境，判断哪种选择对自己最有利。当然，巫师已经预见到了你的分析。你该如何选择呢？两个都拿，还是只拿B？
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反应
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对于以上背景，一种反应是：巫师？谁都知道巫师是骗人的！所以，所谓的“预测”是个无关因素。简单地说，最后决定是：这里有两个箱子，可能两个箱子都有钱，你应当统统拿走。
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既然箱子A里肯定有1 000美元，只拿箱子B是愚蠢的。这个举动和在马路上见到1 000块钱而不捡起来没什么差别。你拿走两个箱子，箱子B里的东西也跑不掉（如果有东西的话）。包括巫师在内，谁也没说会有一种超自然的力量取走B里的东西。箱子在24个小时以前就严严实实地封好了。你应当两个都拿。
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另一方面，同样有很有力的推理支持只拿箱子B。请注意，这个巫师通常是正确的。这是一个预设前提。最有可能的情况是，他准确地预见到你会拿两个箱子，于是，你只能拿到1 000美元。相反，轻信巫师的人却会得到100万美元。
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如果此前这个实验已经进行了数百次，而且几乎每一次都验证了巫师的异能，应当如何选择？这对我们的选择应当没有影响，因为前提已经预设了巫师的准确率。赌博公司就实验结果设立赌局，接受局外人下注。如果你只拿箱子B，他们则以9赔1的赔率赌里面有100万美元。如果你两个箱子都拿，你得到100万美元的概率很低，赔率则反过来为9赔1。赌博公司这样设赔率不是为了学雷锋做好事。这就是实际概率，任何人都会把赔率设在这个值附近。
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在这个实验中，你考虑的唯一因素是钱。如果只拿箱子B，那么你的收益可以用钱来衡量。如果两个箱子都拿，那么你一定可以得到箱子A里的1 000美元，另外还有10%的机会拿到100万美元——如果巫师错误地预测你将只拿箱子A。平均而言，有10%的机会得到100万美元相当于可得到10万美元。两个箱子都拿，你的预期收益是1 000+100 000，即101 000美元。
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如果你选择另一个策略，只拿箱子B，巫师正确地做出预测并放入100万美元的概率是90%。平均而言，这相当于90万美元。两相比较，只拿箱子B的策略要有利得多。巫师的准确率越高，只拿箱子B就越有利。如果迄今为止他的准确率为99%，收益情况是11 000（两个都拿）比990 000（只拿B）。在极限情况下，巫师的预测从未失误，两种选择的收益分别是1 000美元（两个都拿）和100万美元（只拿B）。
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以上分析导致相反的结论。然而，并非所有人都对这种观点满意。为了解决纽康悖论，人们提出了若干种方案，这些方案表现出了惊人的才智。在所有认真提出的惊人的解释中，有一种观点是，密封的箱子的状态相当于薛定谔的猫：在打开箱子以前，箱子既非空也非满。
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将囚徒困境的常规分析方法应用于此则无效。先看一下二者的相似之处。在纽康悖论中，你和巫师实际上应当采取“合作”策略：巫师预测你只拿箱子B，而你确实只拿箱子B，这与囚徒困境相同。但是，如果巫师确实采取了合作策略，你面临一个强烈的诱惑：把两个箱子都拿走，就会得到更多的钱。在博弈论中，有一个结论认为，在类似于囚徒困境的情景中，一方永远不应首先采取背信策略。[3]可是，这个结论在这里怎么能生效呢？巫师已经出过牌了，而且他不在乎将来的后果。
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玻璃箱子
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以上介绍了纽康悖论的基本版本，为了使最佳策略更加明显，在基本版本的基础上又衍生出多种版本。预测者可以变成外星人、上帝，和你共同生活20年、对你了如指掌的伴侣，或是一台处理掌握了关于你大脑神经元状态的充分信息的计算机。我们可以调整预测者的准确率，取值在50%~100%之间变动，看看有何影响。有些版本通过精心设计，使得某一种策略更有利，但是无法消除悖论。
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这个悖论依赖于对预测者能力的信心。假定这个巫师没有任何预测能力，只是用抛硬币的办法决定是否把100万美元放入箱子B，那么所有人都会同意，在这种情况下你应当两个箱子都拿。无论预测者对你的预测是否正确，两个箱子都拿比只拿一个要多得1 000美元。对两种策略进行收益分析，结论相同。两个箱子都拿，一定可得1 000美元，外加有50%的机会得到100万美元，总计501 000美元；只拿箱子B，有50%的机会得到100万美元，相当于50万美元。
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这个悖论还要求预测者的准确率足够高，从而抵偿放弃箱子A的损失。根据给定的两个箱子里的钱数，预测者的准确率必须高于50.05%。我们以A表示箱子A中的钱数，以B表示箱子B中的钱数，则准确率必须高于（A+B）/2b。
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如果箱子A是玻璃的，而箱子B背对着你的那一面是玻璃的，则两个箱子都拿的理由更充分。你亲眼看见箱子A里有1 000美元。一个修女坐在桌子对面，她可以透过玻璃看到箱子B的里面。而且，修女起过誓，她不会透露箱子B中的内容，收买或用其他办法都无法奏效。但是在实验结束以后，修女会证实，在你做决定的时候箱子里的钱没有凭空消失或凭空冒出来。有了这些设计，你不觉得只拿箱子B是愚蠢的吗？巫师的动作已经完成了，如果你只拿箱子B，在修女的注视下，你要么放弃明摆着的1 000美元而取了一个空箱子（你会觉得自己太蠢了），要么得到了100万美元但同时没有来由地放弃了额外的1 000美元。
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在实验以前，你宣布将把自己收入的10%捐献给孤儿院。修女可以看见两个箱子里的东西，她默默祷告你会做出使捐献额最大的选择。修女希望你如何选择是毫无疑问的，她希望你两个箱子都拿。无论她看见的是什么，你拿走两个箱子都意味着贫苦的孤儿多得了100美元。
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纽康提出了另一个版本：两个箱子都是完全透明的。箱子B里面是一张纸，上面写着一个很大的奇数。实验的赞助者许诺，如果这个数是质数，则付给这张纸的持有者100万美元。这个数是由巫师选定的，仅当他预测你将只拿箱子B时，这个数才会是质数。你可以看见这个数，还可以把这个数记下来以待日后检验，但是在你做出决定以前，不允许你检验这个数是不是质数。当然，数学事实是不会变化的。数在星球出现的很久以前就已存在，[4]你此时此地在这个无关紧要的行星上所做的一切都不会在数学领域内产生任何影响。如果你怀疑自己的决定也许会以某种奇异的方式反过来影响巫师已经做出的预测，悖论的这个版本可以彻底打消你的疑虑。
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